Аналитические результаты в математической теории упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Работа пнп'ппюна в Якутском государственном университет! им. И. К. Аммосорэ.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор В. Ю. Изаксон, кандидат физико-математических наук, э доцент С. Т. Софронов.

Ведущая организация - Объединенный институт фнзико-технических

проблем Севера СО РАН.

Защита состоится 1993 г. в часок

на заседании специализированного совета К 064. 57. 02 в Якутском государственном университете (677891, г. Якутск, ул. Белинского, 58, Якутский государственный университет).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Якутскогс государственного университета.

Автореферат разослан " ^ " 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических

наук, с. н. с. ^^асиЛ^^-— В. И. ВасильеЕ

ОЫЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. В математической физике широкое применение находят аналитические методы теорий комплексных и гиперкомплексных функций. Хородей иллюстрацией этого является развитие различных аналитических методов решения задач теории упругости. Основой эффективных приложений комплексного анализа (теории аналитических функций комплексного переменного или ТФ1СП) в теории упругости является комплексное представление общего ренекия уравнений плоской теории упругости называемое в литературе формулой Колосова-Мусхелишвили. В осесимметричной теории упругости успешно используются различные классы обобщенных аналитических по Векуа функций комплексного переменного, р- и (р.д)-аналитические функции комплексного переменного. В связи с успехами различных теорий функций •комплексных переменных в дйумерных задачах имеются многочисленные подходы, распространяющие методы этих теорий и их гиперкомплекных обобщений на пространственные задачи теории упругости. Наиболее значимые результаты в этом направлении в настоящее время достигнуты последователями кватернионного анализа. Теория регулярных кватернионных функций неполной кватернионной переменной развивается как пространственный аналог ТФКП и приспособлена для аналитических исследований пространственных задач математической физики. В последнее время опубликован ряд работ, показывающих эффективность применения кватернионного метода в пространственных задачах теории упругости. Ряд существенных результатов в этом направлении получен для звездных областей. Кроме того, в современной математической теории упругости имеются не решенные аналитические проблемы, важные в теоретическом и практическом плане, такие, как, например, вопросы об общих решениях и теоремах о среднем для уравнений теории упругости. Отметим также, что известные представления решений классических задач о равновесии упругого шара имеют определенные недостатки, в частности, решения представлены через трудно обозримые ряды или через производные до второго порядка включительно от некотори;: квадратур, в ряде работ рассматривались осесимметричные и другие частные случаи. Сказанное выше и определяет актуальность темы данной работы.

Цалыз работы является развитие кватернионного подхода при решении пространственных задач теории упругости, получению кватернионньх представле1Шй общего решения уравнения Ламе теории упругости в звездных и в произвольных областях, их эффективным приложениям при решении основных краевых задач теории упругости, изучению свойств применяемых кватернионных функций, а такхе изучению других аналитических свойств решений уравнений теории упругости.

Методика выполнения работы. В исследованиях использованы теории регулярных кватернионньх функций, гармонических функций, вещественный и комплексный анализы, теория специальных функций математической физики, теория интегральных уравнений и техника операторов радиального интегрирования.

Научная новизна. Разработан математический аппарат, обобщающий метод - комплексных функций на трехмерное пространство, основанный на кватернионном подходе к теории системы Моисила-Теодореску, при котором решения этой системы являются регулярными кватернионными функциями. Получен ряд новых существенных результатов по теории применяемых кватернионных функций, в частности доказаны аналоги важных аппроксимационных теорем М. А. Лаврентьева, М. В. Келдыша из комплексного анализа. Разработана техника операторов радиального интегрирования, приспособленная для решения задач математической физики в звездных областях. С ее помощью получено новое кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в звездных областях. Показано, что в случае плоской деформации из него вытекаем комплексное общее решение Колосова- Мусхелишвили. Получено новое представление общего решения уравнения Ламе в произвольных областях, выраженное через две регулярные кватернионные функции в виде прямого пространственного аналога формулы Колосова-Мусхелишвили. Показаны эффективные приложения полученных новых представлений: решения четырех основных задач о равновесии упругого шара получены в квадратурах в виде аналогов известных формул Пуассона и Неймана из теории гармонических функций; предложен новый метод решения первой основной задачи теории упругости для произвольной ограниченной области с ляпуновской границей в предположении, что известна функция Грина гармонической задачи Дирихле. Для уравнения гармонических колебаний упругого тела и

лля уравнения, получающегося из динамического уравнения Ламе при одностороннем преобразовании Лапласа по времени, доказаны новые аналоги теорем о среднем из теории гармонических функций. Полученный при этом оператор усреднения при определенных условиях имеет норму меньшую единицы, что гарантирует возможность применения метода Монте-Карло при численном решении первой краевой задачи. Впервые общее решение уравнения гармонических колебаний упругого тела в звездной области выражено в интегро- дифференциальной форме через три произвольные гармонические функции.

Достоверность полученных в работе результатов. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, основаны на строгих математических доказательствах и в частных случаях из них следуют известные ранее результаты.

Научная и практическая ценность. Развитая теория регулярных кватернионных функций может служит аналитическим аппаратом при исследовании пространственных задач математической физики. Полученные новые представления общих решений различных уравнений теории упругости имеют теоретическое и практическое значения. Предложенный здесь метод может служить основой для численного решения первой основной задачи теории упругости в произвольных областях. Тензоры Грина четырех основных задач о равновесии упругого шара впервые выражены в замкнутой форме через элементарные и специальные функции. Установленные теоремы о среднем могут служит основой для решения краевых задач методом Монте-Карло.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались и обсуждались

1.. На семинаре математического факультета Якутского государственного университета.

2. На семинарах отдела механики деформируемого твердого тела (рук. проф. Сосшга О-В.) и лаборатории динамической прочности (рук. проф. Аннин Б.Д.) Института гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН.

3. На ix Всесозной конференции пс численным мих^лм. решения задач теории упругости и пластичности (Саратов, 191Й).

4. На vi Всосозном съезде по теоретической и прикг.шк>0 механике (Ташкент, 1Э86).

5. На расширенном заседании кафедры теоретической йшзпчй

Якутского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы i работах [1-ф].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 94 наименований. Работа изложена на 111 страницах машинописного текста.

Во введении дано обоснование актуальности выбранной темы, определены цели работы. Приведен краткий обзор литературы по различным.теориям гиперкомплексных функций и их приложениям в математической физике и теории упругости. Описаны структура и краткое содержание диссертации.

В работах Р. Фуэтера и его сотрудников введены лево- и праворегулярные кватернионные функции (Ь,х)+1(Ь,т)

кватернионной переменной д=1+ггь+1х+1у+кг соответственно как решения уравнений

и показано, что определенные таким образом кватернионные функции сохраняют многие свойства аналитических функций комплексного переменного. Здесь 3, х - специальные

кватернионы (вместе с 1 они являются элементами базиса алгебры кватернионов 0), подчиняющиеся следующим правилам умножения

1г= ;)г= кг= -1, = = к, = -к! = 1, к! = -1к =

- обобщение известного двумерного оператора Коми-Римана на пространство К".

По обобщению ТФКП на случай трехмерного пространства основопологающне результаты получены Г.Иоисилои н Н. Теодореску Однако они и некоторые их последом гели не использовали кватернпонную алгебру. Преимущества применения в теории Монсила-Теодореску удобной кватернионной алгебры, вместо

матричной, показано в данной диссертационной работе. Пусть х, у, г - декартовы координаты в евклидовом пространстве К1; оператор Гамильтона V - + рассматриваем как

кватернионный. Следуя Р. Фуетеру кватернионная функция =

fjх) + f(r; = fjx.y, z)+ifx(x,y, zj+jf^fx.y, z)+*.tjx,y, z) e c' неполной кватернионной переменной r =ix + jy + Jcz e IR3 называется леворегулярной в точке ro е Е3, если она удовлетворяет в некоторой окрестности <= R3 точки го уравнению

vf(r) = -ч-цг) + 7fo(r; + vxfcr; = о, г е gq, (1)

где Vf , V*f, Vxf - обычные градиент, дивергенция и ротор. В дальнейшем леворегулярные кватернионные функции неполной кватернионной переменной называем кратко регулярными (кватернионными) функциями. Функция f называется регулярной в области Q с R3, если она регулярна в каждой точке г е Я. Кватернионное уравнение (1) эквивалентно системе уравнений в частных производных первого порядка эллиптического типа, являющейся пространственным обобщением системы Коши- Римана (СКР) и называемой в литературе системой Моисила- Теодореску (CHT)

Если в (2) принять, что f зависит только от двух переменных, например, от х и у, то С'.П" (2) распадается на две системы Коши-Римана (СКР) и комплексные функции

f(<)=fx (х, y)-ify (х,у), д(х, y)=to(x, y)-if^ (х, у)

будут аналитическими функциями комплексного переменного с=х+ +iy. Известно также, что в цилиндрических координатах в случае осевой симметрии СМТ распадается на две обобщенные по Векуа СКР и решения СМТ в этом случае являются обобщенными аналитическими по Векуа функциям». В осесимметричной теории упругости эффективно применяются именно такие комплексные функцнг.

Теирия СМТ не является следствием теории Р. Фуэгер. вследствие этого эта теория имеет самостоятельное значение. Значение CHT возрастает в связи с тем, что она ег;тесгроп;пл' образом возникает в пространственных задачах математической

физики. В частности, имеется тесная связь метлу СМТ и уравнением Ламе теории упругости, которая, по-видимому, отмечена впервые Г.Моисилом. Пусть и(г) - вектор упругого перемещения в линейной теории упругости, т. е. решение уравнения Ламе

Если ввести кватернионную функцию Г^^+Г неполной

кватерниочной переменной г по формулам

го=ГХ+2ц;7«и, г^рУхи, (4)

то из (3) и (4) следует, что £ будет регулярной функцией, т. е. решением СМТ.

В первой главе исследованы некоторые вопросы теории системы Моисила-Теодореску. При этом используется удобная кватернионная алгебра, т.е. решения СМТ интерпретируются как регулярные кватернионные функции неполной кватернионной переменной. Это позволяет по аналогии с комплексным анализом ввести аналоги степеней комплексного переменного и сравнительно просто получить обобщения теорем Тейлора и Лорана для СИТ, а также установить аналоги важных аппроксимациооных теорем из комплексного анализа. Развитая в данной главе теория является математическим аппаратом, обобщающим ТФКП, и приспособлена для решения пространственных задач математической физики.

В § 1 для регулярных кватернионных функций изложены основные теор-змн, являющиеся аналогами соответствующих теорем из ТФКП, введены аналоги положительных степеней комплексного переменного и доказан аналог теоремы Тейлора из ТФКП.

Аналоги положительных степеней имеют вид однородных регулярных кватернионных полиномов р1'т(г) порядка л - 1 + га

и считается, что рр'ч(х)-о, если хотя бы одно из чисел р,д< 0.

По аналогии с формулой комплексного анализа

вводятся лево- и праворегулярные везде, за исключением начала координат, аналоги р

'' ' (г) отрицательных степеней комплексного переменного ?Гп для СМТ по формуле

1, т - 0,1. л; л = 0,1, . .

Далее доказаны теоремы, являющиеся аналогами теорем Лиувилля, Абеля, Тейлора, Лорана из комплексного анализа.

В § 2 доказана теорема о восстановлении регулярной кватернионной функции по ее скалярной части, заданной в виде произвольной скалярной гармонической функции в открытой области Q с R3 со связным дополнением.

Теорема (о восстановлении регулярной функции по ее скалярной части). Пусть g с R3 - открытое (не обязательно связное) множество со связным дополнением; ф - скалярная гармоническая в g функция. Тогда для любого компакта к <=с g существует регулярная на к функция f, такая, что с - <р, причем ее векторная часть имеет вид:

f(r) - VxA(r) + V$(r), г е к,

Q - любое ограниченное открытое множество с границей dQ е с2** содержащее к; d е (о,i); h - скалярная гармоническая в Й функция с граничным значением на dQ, совпадающим с плотностью потенциала двойного слоя для функции 4я<р в Q; Ф - произвольная скалярная гармоническая на к функция.

В §3 для CHT установлены аналоги теорем о полиномиальной аппроксимации М. А. Лаврентьева и U. В. Келяыва из комплексного анализа и рассмотрены некоторые их следствия. Изложенные здесь результаты еще раз показывают преимуяества кватернионного подхода к теории CUT. При отои разрешается вопрос о необходимых и достаточных условиях сколь угодно точного равномерного приближения регулярными полиномами, введенными в §

1, наиболее важных классов кватерннонных функций, заданных на наиболее часто встречающихся множествах. Приведем формулировки соответствующих теорем.

Тесрема (Лаврентьева). Для того чтобы всякую

кватернионную функцию fee" на замкнутой множестве Й с R3 можно было сколь угодно точно равномерно приблизить на этой множестве регулярными полиномами, необходимо и достаточно, чтобы это множество было нигде не плотным б R3 компактом, не разделяющим пространство R3.

Следствие. Пусть к - компакт из R*. Тогда всякую скалярную функцию, непрерывную на к, можно сколь угодно точно равномерно приблизить на этом компакте полиномами, являющимися сужениями трехмерных скалярных гармонических полиномов.

Теорема (Келдыша). Для того чтобы на замкнутой области ß с R3 всякую кватернионную функцию /(г) € <i(fl) можно было сколь угодно точно равномерно приблизить регулярными полиномами, необходимо и достаточно, чтобы дополнение к й состояло из одной области Gm, содержащей бесконечно удаленную точку.

Здесь .1(0) - класс кватерннонных функций, определенных на множестве й, регулярных в int й (т. е. во внутренних точках й) и непрерывных на fi (Ü - замыкание й).

Во второй главе определен оператор радиального интегрирования, описаны его основные свойства и приложения, которые систематически используются в Главах 2 и 3. Получено кватернионное представление общего решения уравнения Ламе в звездных областях в Кэ, с помощью которого в Главе 3 решения основных задач теории упругости для шара получены в замкнутой форме. Получено кватернионное представление общего решення уравнения Ламе в произвольных областях в Ш3 в виде прямого пространственного аналога формулы Колосова-Мусхелишвили. В качестве приложения полученного пространственного аналога формулы Колосова- Мусхелишвили 1-я основная задача теории упругости в произвольной области сведена к решению одного скалярного однозначно разрешимого интегрального уравнения Фредголыла второго рода, ядро которого выписывается с помощью регулярной части функции Грина гармонической задачи Дирихле в этой области.

Обозначим через Х(Й) класс функций, регулярных в области Й с R3; и (й) класс гармонических функций й -♦ R™.

В § 1 определен оператор радиального интегрирования, писаны его основные свойства и приложения, которые истематически используются ниже в данной работе.

Оператор радиального интегрирования 1" , действует на |ункцию £ по правилу:

1*1 = г*е(г) =| ь* /ггй; « = | ^ £(гь,в,ч>) dt,

шесь г, 0, <р - сферические координаты.

Далее установлены свойства оператора I-, с помощью тератора I* решены два интегральных уравнения Вольтерра, в )бласти А с Еэ, звездной относительно начала координат, ийдены общее решение СМТ, общее представление первообразной регулярной функции и приведены некоторые другие полезные результаты.

В § 2 параграфе приведено общее решение уравнения Ламе в ,1* , выраженное через две регулярные кватернионные функции:

'Теорема. Общее решение уравнения Ламе (3) в П выражается через две регулярные в Я* функции Чдо, где г е Х(