18.3.3. Ускорения точек сферически движущегося тела
екторная формула, выражающая ускорения точек сферически движущегося тела через угловые скорость и ускорение ( ):
Несмотря на то, что получена точно такая же формула, как и для вращательного движения, отличия имеются. И существенные. Рассмотрим их.
При вращательном движении тела вокруг оси вектор всё время расположен на оси вращения (если условиться его начинать из какой-либо точки этой оси), т.е. его годограф, и поэтому угловое ускорение, также расположены на
При сферическом движенеии не
си вращения ( ). При сферическом же движении вектор угловой скорости переменен, прежде всего по направлению. Поэтому
ектор углового ускорения (как касательная к годографу ) при сферическом движении расположен, как фунция времени, под углом по отношению к вектору угловой скорости - см.рис.18.18.
Рисунок 18.18
математической точки зрения связи и идентичны, а стремление новые знания сводить к известным, приводят к формулировке:
ектор углового ускорения равен скорости конца вектора угловой скорости, при условии, что его начало (на рис.18.18 - полюс) неподвижно.
Часто вектор угловой скорости сферически движущегося тела постоянен по модулю и вращается вокруг неподвижной оси (описывает поверхность прямого
Вычисление . Случай 18. 23в
ругового конуса – см. ниже пример 6). В этом случае вектор можно уподобить стержню (см. рис.18.19), вращающемуся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью и тогда, пользуясь аналогией , можно записать:
Рисунок 18.19
Составляющие ускорения сферически движущегося тела
атематическая одинаковость формул для вычис-ления ускорений при вращательных движениях вокруг оси и точки (формулы 18.15 и 18.22), с учётом их отли-чия по содержанию, рассмотренного в 18.23 (а-б-в), поз-воляют рекомендовать трёхшаговую процедуру вычис-ления ускорения точек сферически движущегося тела:
1 . Тело предполагается в рассматриваемый момент времени вращающимся вокруг неподвижной оси, совпадающей с мгновенной осью вращения (см. рис.18.20); при таком предположении определяется нормальная составляющая ускорения – по формуле ; направлена она перпендикулярно и пересекает её; называют осестремительной составляющей ускорения;
. Тело предполагается вращающим-ся вокруг неподвижной оси, проходящей через центр сферического движения па-раллельно ; при таком предположении определяется касательная составляющая ускорения - модуль по формуле ; направлена же эта состав-ляющая так, чтобы глядя навстречу век-тору видеть, что уподобленный силе вектор действует в направлении поворота тела против хода стрелки часов; называют вращательной составляющей ускорения.
Рисунок 18.20
. Полное ускорение точки равно сумме осестремительной и вращатель-ной составляющих - .
Кинематика конической шестерни, обегающей непод-вижное зубчатое колесо
РИМЕР 18.6.-На кинематику сферического движения тела
Д ано.- Водило 1 вращается (рис.18.21) вокруг неподвижной вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ; 2 – подвижное и 3 – неподвижное конические зубчатые колёса; м; .
Определ. скорость и ускорение точки .
Рисунок 18.21
ешение.- Тело 2 (шестерня) совершает сферическое движение вокруг центра , без скольжения обкатываясь по неподвижому зубчатому колесу 3. Следовательно , т.е. -
мгновенная ось вращения тела 2. В рассматриваемый момент времени точка движется в направлении зрачка читателя. Поэтому (в соответствии с 18.19) вектор направляем от к .
Модуль скорости точки , принадлежащей вращательно движущемуся телу 1:
Модуль скорости точки , принадлежащей сферически движущемуся телу 2:
Точки и совпадают во времени. Поэтому
Исходя из тех же результатов 18.19 и 18.21 находим скорость точки :
и направлена она перпендикулярно плоскости чертежа в сторону зрачка читателя.
Мгновенная ось вращения тела 2 и водило расположены (в функции времени) в одной вертикальной плоскости , что позволяет заключить:
исходящий из точки , постоянный по модулю вектор , вращается вокруг оси с постоянной угловой скоростью и, поэтому, траекторией его конца является окружность.
Применяя результат 18.23в, находим модуль углового ускорения:
Направлен вектор углового ускорения (в соответствии с результатом 18.23б) перпендикулярно плоскости чертежа в сторону зрачка читателя, что на рисунке отображено значком .
Используя результат 18.24, определяем:
1. Модуль осестремительного ускорения точки
направлен этот вектор по кратчайшему расстоянию от точки к мгновенной оси вращения ;
2. Модуль вращательного ускорения точки
расположен вектор в плоскости чертежа (перпендикулярно и , и ) и, в соответствии с правилом пункта 2 результата 18.24, направлен влево-вверх;
3. Полное ускорение равно геометрической сумме осестремительной и вращательной составляющих – оказалось направленным от к и по модулю равным 3000 м/с 2 .