Математика 11 класс, школьный этап (I этап), г. Москва, 2016 год

(7 баллов) Во время распродажи Пётр купил брюки с 40 %-ной скидкой и рубашку с 20 %-ной скидкой. На следующий день Иван купил такие же брюки и рубашку без скидок. Мог ли Иван заплатить в полтора раза больше, чем Пётр?

Ответ. Мог.

Пусть брюки без скидки стоят х рублей, а рубашка без скидки стоит у рублей. Тогда Пётр заплатил 0,6х + 0,8у рублей, а Иван х + у рублей.

Получаем уравнение 1,5· (0,6х + 0,8у) = х + у, откуда х = 2у. Таким образом, если брюки стоят в два раза больше рубашки, то Иван заплатил в полтора раза больше Петра.

Полным решением является также предъявление конкретной цены брюк и рубашки (например, 2000 руб. и 1000 руб.) с обоснованием того, что при такой цене условие задачи выполнено (в данном случае Пётр заплатил 2000 руб., а Иван — 3000 руб.).

• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Приведён верный пример возможной цены брюк и рубашки, но обоснование отсутствует — 4 балла.
• Верно составлено уравнение 1,5· (0,6х + 0,8у) = х + у, но дальнейших продвижений нет (или они ошибочны) — 2 балла.
• Приведён только ответ — 0 баллов.

Задание 2

(7 баллов) Приведите пример числа x, для которого выполняется равенство

sin2017x – tg2016x = cos2015x.

Ответ . Например, π/4

Так как 2016 π/4 = 504 π = 252∙2 π кратно периоду, имеем

• Приведён верный ответ, и показано, что при этом значении х равенство верно, — 7 баллов.
• Приведён только верный ответ — 3 балла.

Задание 3

(7 баллов) Рубик сделал развертку куба размером 3 × 3 × 3 и отметил на ней две точки – см. рисунок.

Рисунок к заданию 3

Каково будет расстояние между этими точками после того, как Рубик склеит из развёртки куб?

Изобразим готовый кубик (изображение выбрано так, чтобы выделенная грань развёртки оказалась сверху). Данные точки — это две противоположные вершины кубика 2 × 2 × 2. А в кубе 2 × 2 × 2 диагональ имеет длину 2√ 3 .

Рисунок к решению задания 3

• Верное решение (достаточно верной картинки и объяснения, как именно ищется расстояние между точками) — 7 баллов.
• Картинка изображена верно (возможно не с того ракурса, что в приведённом решении), но дальше расстояние найдено неверно — 3 балла.
• Приведён только верный ответ — 0 баллов.
• Допущена ошибка при определении местонахождения точек на кубе — 0 баллов.

Задание 4

(7 баллов) Существуют ли такие три действительных числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он будет иметь два различных положительных корня, а если в другом порядке, то два различных отрицательных корня?

Ответ . Нет.

Пусть у трёхчлена ax 2 +bx+c два отрицательных корня x1 и x2. Тогда b/a = –(x1+x2) > 0 и с/a = x1x2 > 0, то есть числа b и c того же знака, что и число a. Допустим, как-то переставив коэффициенты, мы получили уравнение с двумя положительными корнями. Но тогда частное от деления коэффициента при x на коэффициент при x 2 должно было бы стать отрицательным, а частное от деления двух чисел одного знака положительно. Противоречие.

• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Решение, основанное на неполном переборе возможных знаков коэффициентов, — 2 балла.
• Приведено несколько конкретных числовых примеров коэффициентов, и сделан правильный вывод — 1 балл.
• Ответ «нет» без обоснования — 0 баллов.

Задание 5

(7 баллов) Из середины каждой стороны остроугольного треугольника площади S проведены перпендикуляры к двум другим сторонам. Найдите площадь шестиугольника, ограниченного этими перпендикулярами.

Ответ : S/2

Рисунок к решению задания 5

1. Обозначим вершины исходного треугольника буквами X, Y, Z, середины сторон — буквами А, В, С, точки пересечения перпендикуляров — K, L, Площадь искомого шестиугольника равна сумме площадей треугольника АВС и трёх маленьких треугольников, примыкающих к его сторонам: AKB, BLC, CNA.
2. Так как средние линии треугольника XYZ разбивают его на 4 равных треугольника, площадь треугольника АВС равна S/4
3. Проведём в треугольнике ABC отрезки высот до точки их пересечения H. Так как средняя линия BA параллельна стороне YZ, проведённые к ним перпендикуляры СН и АN также параллельны. Рассуждая аналогично, получаем, что АН||СN, и, значит, АНСN — параллелограмм.
4. Диагональ АС разбивает параллелограмм АНСN на два равных треугольника, следовательно, площади треугольников АНС и АNС равны. Точно так же равны площади треугольников АНВ и АКВ и площади треугольников СНВ и CLВ.
5. Отсюда получаем, что искомая площадь в два раза больше площади треугольника АВС и равна S/2

Замечание. Исходный треугольник должен быть остроугольным, чтобы все высоты проходили внутри соответствующих треугольников.

• Любое полное верное решение — 7 баллов.
• Равенство всех нужных фигур (и площадей) доказано, но площадь не найдена — 4 балла.
• Приведено верное разбиение шестиугольника на части, но равенство фигур никак не обосновывается, а только утверждается, и получен верный ответ — 3 балла.
• Ответ S/2 без обоснования — 1 балл.

Задание 6

(7 баллов) Если на доске записано число A, к нему можно прибавить любой его делитель, отличный от 1 и самого A. Можно ли из A = 4 получить 1234321?

Ответ . Можно.

Решение . Прибавить к числу его делитель n — это значит к числу вида kn добавить n. Получится число вида (k+1)n.

Заметим, что число 1234321 делится на 11. Тогда к числу А = 4 = 2·2 будем добавлять 2 до тех пор, пока не получим число 2 · 11: 2 · 2 → 2 · 3 → 2 · 4 → 2 · 5 → … → 2 · 11. А затем будем добавлять 11: 2 · 11 → 3 · 11 → 4 · 11 → 5 · 11 → … →112211 · 11 = 1234321.