Аналитические функции и их свойства

В теории и практике применения функций комплексного переменного интерес представляют дифференцируемые функции, причем имеющие производные не в отдельных точках, а на множествах — в областях. Такие функции называют аналитическими.

Имеют место следующие определения.

1. Функция, дифференцируемая в каждой точке области, называется аналитической в области.

2. Функция, аналитическая в окрестности некоторой точки, называется аналитической в этой точке.

3. Функция называется аналитической на замкнутом множестве , если она является аналитической в некоторой области , содержащей это множество .

4. Точки, в которых нарушается аналитичность функции, называются её особыми точками.

Дифференцируемость функции в точке, согласно утверждению 2.6, проверяется по правилу 2.1. Но аналитичность функции по определению связана с дифференцируемостью в области, в частности, в окрестности точки. Для исследования дифференцируемости в области (аналитичности) используется следующее обобщенное утверждение.

Утверждение 2.8. Если функция непрерывна в области и в каждой точке области выполняются условия Коши-Римана, то функция является аналитически в области.

Правило 2.2. Для исследования функции на аналитичность требуется выполнить следующие операции.

1. Найти действительную и мнимую части функции .

2. Найти частные производные функций и или функций и в полярных координатах.

3. Если условия Коши-Римана (2.19) или (2.21) выполняются в каждой точке непрерывности функции, то функция в этой области аналитическая.

Производная аналитической функции может быть найдена с помощью определения, т.е. по формуле (2.1) или по формулам (2.20) или (2.22).

а) Функции — не аналитические всюду, что следует и решения примера 2.33.

б) Функция , где и , очевидно, является аналитической всюду в и .

Аналитичность функций и .

в) Аналитичность (см. область на рис. 2.5) следует из решения примера 2.37, где получена и производная .

Пример 2.42. Является ли функция двух действительных переменных аналитической?

Функция как функция комплексного переменного имеет вид и является дифференцируемой на линиях или в точках — решениях системы не образующих область. Поэтому она не является аналитической.

Пример 2.43. Доказать аналитичность функции Решение

Запишем решение по правилу 2.2.

1. Действительную и мнимую части функции находим, используя формулу

2. Находим частные производные:

3. Условия (2.19) выполняются для любой точки , поэтому функция , то есть .

Здесь использованы формулы .

Свойства аналитических функций

Результаты примеров 2.41 и 2.43 не являются случайными. Более того, поскольку понятие аналитичности функции определяется через понятие дифференцируемости, то, учитывая утверждение 2.5 о свойствах функций, дифференцируемых в точке, убеждаемся в справедливости следующего утверждения.

1. Сумма, произведение функций, аналитических в точке, есть функция, аналитическая в этой точке. Поэтому, в силу аналитичности функции 2. Частное функций, аналитических в точке, есть функция, аналитическая в этой точке, если знаменатель в ней отличен от нуля.

3. Суперпозиция аналитических функций — функция аналитическая.

4. Если — аналитическая в точке и , то обратная функция является аналитической в .

Эти свойства используются в большинстве случаев при исследовании функции на аналитичность. При этом отпадает необходимость проверять условия Коши-Римана. Правила нахождения производной такие же, как в действительном анализе (см. утверждение 2.5). Очевидно, совпадают и табличные производные и нет необходимости использовать формулу (2.20).

Пример 2.44. Доказать аналитичность во всей комплексной плоскости функций .

Аналитичность функций и всюду в всюду в Пример 2.45. Исследовать на аналитичность функции — рациональная функция.

Каждая из заданных функций представляет собой частное аналитических функций. Особыми точками этих дробей, согласно определению и п. 2 утверждения 2.9, являются только нули знаменателя.

Для рациональной функции эти точки — нули многочлена , т.е. решения уравнения ; для особыми точками являются точки , для точки . Всюду в Пример 2.46. Найти особые точки функций комплексного переменного:а) ;б) .

а) Особыми точками этих рациональных функций являются только нули знаменателей. Для это, очевидно, точки ; для — корни уравнения , и точка являются нули знаменателя, это точки , и особая точка числителя особые точки — нули знаменателя и и или , и .

Особыми точками функции являются только нули знаменателя, т.е. .

Бесконечная дифференцируемость аналитической функции

Отметим одно важное обстоятельство, связанное с определением производной функции комплексного переменного. В определении производной содержится требование, чтобы предел не зависел от способа стремления , т.е. если существует производная , то отношение имеет один и тот же предел (при ) по любому пути и, в частности, по любому из бесконечного множества различных лучей, выходящих из точки . Заметим, что для функции действительной переменной таких направлений только два — производная в точке слева и справа.

Указанное обстоятельство накладывает на дифференцируемую функцию комплексной переменной (а следовательно, и на аналитическую) более сильные ограничения, чем на дифференцируемую функцию действительной переменной, и является причиной появления некоторых дополнительных свойств этих функций.

Важным отличительным свойством аналитической функции комплексного переменного является следующее. Кроме того, что функция, согласно определению, имеет производную первого порядка в точке, она имеет в этой точке и производную любого порядка. А из существования производных любого порядка следует их непрерывность, так как непрерывность функции в точке является необходимым условием дифференцируемости. Так, из существования в точке производной второго порядка от некоторой функции следует непрерывность первой производной от этой функции в указанной точке и так далее.

Утверждение 2.10 (о бесконечной дифференцируемости аналитической функции). Функция, аналитическая в точке, имеет в этой точке производные любого порядка, которые являются непрерывными в этой точке.

Связь аналитических функций с гармоническими

Другая отличительная особенность аналитической функции связана с дифференцируемостью ее действительной и мнимой частей как функций двух действительных переменных. Во-первых, из формулы (2.19) и утверждения 2.10 следует, что эти функции имеют непрерывные частные производные любого порядка в области, где функция является аналитической. Во-вторых, нетрудно убедиться, что функции и являются гармоническими в области аналитичности .

Напомним, что гармонической в области двух действительных переменных, которая имеет в

Для доказательства справедливости равенства (2.23) для функций и достаточно продифференцировать одно из равенств (2.19) (условия Коши-Римана) по и воспользоваться равенством смешанных производных, которое имеет место в силу непрерывности этих производных.

Уравнение (2.23) называется уравнением Лапласа, его можно записать в виде — оператор Лапласа. Уравнение имеет важное значение при решении плоских задач математической физики.

Сопряжённые гармонические функции

Две гармонические функции, связанные между собой условиями Коши-Римана, называются сопряженными гармоническими функциями. Полученное свойство аналитических функций запишем в виде утверждения.

Утверждение 2.11. Действительная и мнимая части любой аналитической в области — гармоническая в односвязной области (см. (2.23)) будет являться условием полного дифференциала для выражения , т.е. существует однозначная в области , такая, что имеет место равенство , и, следовательно,

С помощью (2.24) определяется функция по заданной гармонической функции . Кроме того, сравнивая подынтегральное выражение и (2.24) с формулой полного дифференциала , получаем, что для частных производных функций и выполняются условия Коши-Римана, т.е. функция является сопряженной с . Из этого следует, что — мнимая часть и — аналитическая функция. Полученный результат запишем в виде утверждения.

Утверждение 2.12. Для любой гармонической в односвязной области Замечания 2.8

1. Если область , определяемая интегралом (2.24), а также функция могут оказаться многозначными.

2. Интеграл в (2.24) не зависит от вида кривой. Если выбрать в качестве пути интегрирования ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, то задачу можно свести к вычислению двух определенных интегралов:

Точка может быть выбрана любой из области определения функции. Заметим также, что в первом подынтегральном выражении значение переменной у при вычислении интеграла заменяется на .

Пример 2.47. Проверить, что функция является гармонической. Найти сопряженную с ней функцию:

а) в области с разрезом по лучу ;

б) в плоскости с выколотой точкой .

Находим частные производные второго порядка от функции и проверяем равенство (2.23):

поэтому для любой точки плоскости, исключая точку .

а) В односвязной области — плоскости с разрезом по действительной отрицательной полуоси в соответствии с утверждением 2.12 существует однозначная сопряженная с данной гармоническая функция. Определим ее по формуле (2.25):

Точку можно выбрать произвольной в указанной области, например . Поэтому получаем

Нетрудно проверить, что полученная функция — гармоническая. В частности, при задании дополнительного условия , находим значение , то есть . Запишем функцию , для которой заданная функция является действительной частью, а найденная — мнимой частью:

или — функция, аналитическая в плоскости с разрезом по лучу.

Если путь интегрирования — произвольная кривая, соединяющая точки и , не проходящая через начало координат и не совершающая обхода вокруг , в частности ломаная (рис. 2.16), то результат получен в предыдущем пункте .

Выберем теперь в качестве пути интегрирования кривую , совершает один раз обход вокруг начала координат по произвольной замкнутой кривой, например по окружности радиуса , и заканчивается в точке (рис. 2.16). Интеграл можно представить в виде двух слагаемых:

Второе слагаемое вычислено выше. Найдем интеграл по контуру — по окружности радиуса Вычисляем криволинейный интеграл второго рода через определенный для случая параметрического задания кривой:

Таким образом, получаем результат .

При задании дополнительного условия находим значение , например, при условии имеем . Получена многозначная функция (см. замечание 2.8) , при этом , очевидно, также многозначная,

Пример 2.48. Найти аналитическую функцию по заданной ее действительной части .

Находим частные производные данной функции:

Так как равенство выполняется для любой точки , то — гармоническая в любой области

Этот же результат можно получить, взяв при интегрировании , т.е.

Записываем функцию . В правой части равенства нужно заменить их выражениями через переменную ; для удобства можно использовать равенство , которое, очевидно, присутствует в выражении для . Получаем

или , где — комплексная константа.

Задачу можно решить иначе, используя непосредственно условия Коши-Римана. А именно из равенства находим

Заметим, что здесь интегрируется по одной из переменных (по , поэтому постоянная интегрирования, не зависящая от переменной интегрирования, является функцией параметра, т.е. .

Далее, для нахождения функции используем другое условие Коши-Римана — . Находим производную от полученного выше выражения для и приравниваем известной производной . Из полученного равенства определяем

Таким образом, найдена функция .

Пример 2.49. Пусть — гармоническая в области , такую, что , где — аналитическая в области Решение

Поставленную задачу можно сформулировать, как задачу восстановления аналитической функции по заданной ее мнимой части. Будем рассматривать случай односвязной области , согласно утверждению 2.12, находим интегрированием полного дифференциала:

или, используя условия Коши-Римана для пары сопряженных гармонических функций:

Если, как и выше, в качестве пути интегрирования, соединяющего точки и , выбрать ломаную, звенья которой параллельны координатным осям, то из (2.26) получим два определенных интеграла:

Восстановление аналитической функции по действительной или мнимой части

Обобщая изложенный материал и рассмотренные примеры, можно сформулировать следующее правило нахождения аналитической функции по заданной ее действительной или мнимой части.

Правило 2.3. Для нахождения аналитической функции по заданной ее действительной или мнимой части необходимо выполнить следующие операции.

1. Найти частные производные до второго порядка заданной функции двух переменных или . Проверить, если требуется, что заданная функция гармоническая, т.е. выполняется в некоторой области 2. Найти по заданной гармонической функции сопряженную с ней функцию, используя формулы (2.24) или (2.25) для нахождения или (2.26), (2.27) для нахождения . Можно воспользоваться непосредственно условиями Коши-Римана (см. пример 2.48).

3. Записать функцию , где одна из функций ( или ) — заданная гармоническая, другая — гармоническая, сопряженная с ней. В односвязной области функция — аналитическая (однозначная) и определена с точностью до постоянного слагаемого.

4. Если задано дополнительное условие — значение искомой функции в некоторой точке из области аналитичности функции, то следует использовать его для определения постоянной , получившейся при нахождении сопряженной функции.

Пример 2.50. Найти аналитическую функцию , если

Запишем решение по правилу 2.3.

1. Находим частные производные функции

2. Находим функцию по формуле (2.27):

Можно проверить, что полученная функция является гармонической. Заметим, что при интегрировании можно взять . Можно, как записано в правиле 2.3, при нахождении функции использовать условия Коши-Римана непосредственно:

где — определенная, полученная при интегрировании функция, а функцию требуется определить. Она находится из равенства, получаемого при сравнении выражения для ( известного из условия , где — заданная функция) с выражением для , получаемым при дифференцировании по функции .

3. Записываем функцию

Преобразуем полученное выражение к функции переменной и тригонометрическую формулу для . Получаем

или окончательно: , где — действительная постоянная.

Пример 2.51. Показать, что функция является гармонической в области определения. Найти аналитическую функцию , для которой и .

1. Находим частные производные функции

Далее находим производные второго порядка:

При и частные производные и равны нулю, так как при этом . Тем самым убеждаемся, что функция удовлетворяет уравнению Лапласа для любых , за исключением точки , т.е. всюду в области определения.

Согласно утверждению 2.12, в комплексной плоскости с выколотой точкой , существует функция , для которой данная функция является действительной, как в данном случае, или мнимой частью. При этом в любой односвязной области (см. рис. 2.5), определяется однозначная аналитическая функция.

2. Находим функцию , сопряженную с функцией . Используем условие Коши-Римана. Получаем:

Отсюда находим производную и приравниваем ее к . Получаем равенство , из которого определяем .

В результате с точностью до произвольной постоянной с найдена функция , сопряженная с данной функцией , причем является мнимой частью аналитической в указанной области функции , для которой .

3. Записываем аналитическую функцию

или, переходя к переменной . Можно записать иначе: или окончательно , где — комплексная константа.

4. Используем условие для нахождения , или, вычисляя значение , имеем . Получаем и .

Пример 2.52. Существует ли аналитическая функция , для которой

В случае положительного ответа найти .

а) Ответ на поставленный вопрос сводится к выяснению, является ли гармонической заданная функция двух переменных. Для гармонической функции или находим решение по правилу 2.3.

1. Находим частные производные до второго порядка заданной функции двух переменных

Условие . Следовательно, функция — гармоническая в области определения.

2. Находим сопряженную с функцию:

Полагаем , тогда остается одно слагаемое , которое преобразуем следующим образом:

Для полученных интегралов применяем рекуррентную формулу:

Таким образом, получена функция .

3. Записываем , преобразуя выражение к переменной

Окончательный ответ: — функция аналитическая всюду кроме ).

б) Находим производные при

Условие , следовательно, не является гармонической. Поэтому не существует аналитической функции , для которой является действительной (и мнимой тоже) частью.

в) Находим производные второго порядка: . Условие . Функция не является гармонической. Поэтому не существует аналитической функции , для которой является мнимой (и действительной тоже) частью.

Пример 2.53. Найти все аналитические функции, для которых действительная часть имеет вид .

Задача нахождения аналитической функции по ее действительной части решается, если является функцией гармонической. Здесь функция задана, как сложная функция переменных . Для решения задачи сначала определим вид гармонической функции из условия , то есть или . Далее дифференцируем это произведение по переменной — сложная функция переменной

В силу симметрии переменных вторая производная по имеет вид

Записываем уравнение Лапласа: . Обозначив , получим для функции дифференциальное уравнение второго порядка , которое допускает понижение порядка с помощью замены . Для нахождения вспомогательной функции получаем простейшее дифференциальное уравнение ; разделяя переменные, находим . Далее, интегрируя равенство , получаем функцию . Гармонические функции вида записываются в форме

Далее, обычным образом находим сопряженную с функцию. Можно использовать результат примера 2.47. Получим . В односвязной области — плоскости с разрезом соответствующая аналитическая функция записывается в виде

Вводя новые обозначения для постоянных, окончательно получаем .

Приложения аналитических функций

Аналитические функции в задачах теории поля

Известные из интегрального исчисления функции многих переменных задачи векторного анализа — вычисления работы, потока векторного поля, нахождения потенциальной функции и потенциала, с физической точки зрения являются важнейшими задачами электростатики и гидродинамики, так называемыми задачами теории потенциала — исследования стационарных полей.

При исследовании плоских векторных полей в таких задачах применяются методы теории аналитических функций, так как задание функции в плоской области есть задание функции комплексного переменного.

Задание векторного поля (например, поля скоростей течения жидкости, газа) означает, что в некоторой плоской области соответствует вектор или пара , т.е. каждому комплексному числу соответствует число .

Следовательно, задание векторного поля эквивалентно заданию функции комплексного переменного .

При исследовании установившихся стационарных течений идеальной жидкости (газа) рассматриваются поля, безвихревые и без источников и стоков. Если поле или — потенциальное (безвихревое), то по свойству таких полей выполняется условие

которое является условием потенциальности поля — потенциальная функция, для которой и выражение или является полным дифференциалом, т.е.

Условие (2.30) — является условием полного дифференциала некоторой функции , для которой справедливо равенство

Равенства (2.29) и (2.31) определяют для заданного поля или две функции и .

Из этих условий следуют равенства и , а также , и поэтому и . Эти равенства, полученные для функций , являются не чем иным, как условиями Коши-Римана некоторой аналитической функции , для которой .

Рассмотрим физический смысл функций и как характеристик поля — потенциальная функция поля ; линии уровня образуют семейство линий, ортогональных линиям семейства — два семейства и образуют в плоскости ортогональную сетку. Это связано с тем, что образами этих линий в плоскости прямых, параллельных координатным осям является конформным отображением, так как при таком отображении сохраняются углы (см. утверждение 2.7).

Вектор поля , по свойству градиента направлен по нормали к линии уровня . Поэтому линии уровня являются векторными линиями поля — траектории жидких частиц. Поэтому линии Утверждение 2.13

1. Исследование потенциального и соленоидального поля или связано с исследованием функций , которые определяются для заданного поля 2. Линии 3. Функции и являются сопряженными гармоническими функциями и определяют некоторую аналитическую функцию . Тем самым подтверждается, что исследование поля . Функция , построенная таким образом, называется комплексным потенциалом поля 4. Для исследования потенциально-соленоидальных полей может быть успешно использован хорошо разработанный аппарат аналитических функций, в частности теория конформных отображений.

Аналитические функции в приложениях

Остановимся подробнее на свойстве конформности как геометрическом свойстве отображения.

Учитывая определение аналитической функции, утверждение 2.7 можно сформулировать следующим образом.

Утверждение 2.14 (о геометрическом свойстве конформного отображения). Отображение с помощью аналитической функции является конформным всюду в области аналитичности, где производная функции отлична от нуля, т.е. если , то отображение обладает свойствами постоянства растяжения и сохранения углов (по величине и направлению отсчета) в бесконечно малой окрестности точки аналитичности функции. Это означает, в частности, что оно сохраняет бесконечно малые окружности, т.е. окружность , имеющая уравнение , где достаточно мало, при отображении переходит в кривую , где (рис. 2.17).

Отображение с помощью аналитической функции можно рассматривать как преобразование подобия в бесконечно малом, так как сохраняется пропорциональность линейных размеров сходственных линий, в частности границ фигур, и имеет место равенство соответствующих углов. Так, треугольник плоскости переходит в подобный ему криволинейный треугольник плоскости может определяться в виде , т.е. сводится к нахождению соответствующей аналитической функции.

Каноническими областями при этом являются верхняя полуплоскость и круг единичного радиуса с центром в начале координат . Принципиальным становится вопрос о самой возможности конформного отображения произвольных областей, а также о практическом осуществлении такого отображения, причем по возможности с помощью сравнительно простых функций.

Хорошо разработанная геометрическая теория функций комплексного переменного — теория конформных отображений дает ответы на эти вопросы. Первый вопрос решает теорема Римана, согласно которой для любой односвязной области, за исключением двух тривиальных случаев — всей плоскости переводит круг в себя, т.е. отображает круг на круг , так, что заданная точка круга переходит в центр круга . Это позволяет утверждать, что для любых двух односвязных областей (за исключением двух упомянутых случаев) существует конформное отображение, переводящее одну область в другую.