научная статья по теме КОМПЬЮТЕРНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ–ДИФФУЗИИ Математика

Текст научной статьи на тему «КОМПЬЮТЕРНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ–ДИФФУЗИИ»

ЖУРНАЛ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ, 2014, том 54, № 8, с. 1256-1269

КОМПЬЮТЕРНАЯ РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ КОНВЕКЦИИ-ДИФФУЗИИ1

© 2014 г. Г. И. Шишкин

(620990 Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН им. Н.Н. Красовского)

e-mail: shishkin@imm.uran.ru Поступила в редакцию 21.02.2014 г.

Для задачи Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции—диффузии с возмущающим параметром s (принимающим произвольные значения из полуинтервала (0, 1]) разрабатывается подход к построению численного метода на основе стандартной разностной схемы на равномерной сетке при наличии возмущения данных сеточной задачи, а также возмущений, возникающих при компьютерных вычислениях.

При отсутствии возмущений стандартная разностная схема сходится со скоростью 0(8st), где 8st = (s + N-1)-1N-1 и N + 1 — число узлов сетки; схема не является s-равномерно хорошо обусловленной и устойчивой к возмущению данных. В случае теоретически доказанной сходимости стандартной схемы актуальная точность вычисляемого решения при наличии возмущений падает с уменьшением параметра s до полной потери точности при малых значениях s

(а именно при условии s = О (8-2max;, j |8 di | + 8-1max;, j |8 |), где 8 = 8sl и 8 di, 8 Üt — возмущения коэффициентов при второй и первой производной).

Для краевой задачи строится компьютерная разностная схема — вычислительная система, включающая стандартную схему на равномерной сетке при наличии контролируемых возмущений данных сеточной задачи и гипотетический компьютер с контролируемыми компьютерными возмущениями. Для компьютерной разностной схемы получены условия, накладываемые как на допустимые возмущения данных сеточной задачи, так и на допустимые компьютерные возмущения, при которых компьютерная разностная схема сходится в равномерной норме при s е (0, 1] с такой же скоростью, что и стандартная схема при отсутствии возмущений. Библ. 19.

Ключевые слова: сингулярно возмущенная краевая задача, обыкновенное дифференциальное уравнение конвекции—диффузии, пограничный слой, стандартная разностная схема на равномерных сетках, возмущения данных сеточной задачи, компьютерные возмущения при вычислениях, равномерная норма, устойчивость схемы к возмущениям, обусловленность схемы, компьютерная разностная схема.

В настоящее время для широкого круга сингулярно возмущенных задач разработаны специальные численные методы, решения которых сходятся s-равномерно в равномерной норме (см., например, [1]—[5] и библиографию там же). К недостаткам таких специальных численных методов относится необходимость решать сеточные уравнения на сетках, шаг которых резко изменяется в окрестности пограничного слоя. Схемы на существенно неравномерных сетках не позволяют применять высокоэффективные вычислительные методы (см., например, [6], [7]), как и технику построения численных методов высокой точности (см., например [8]), разработанные для регулярных задач. В то же время разработанные для регулярных задач стандартные численные методы, использующие классические аппроксимации дифференциальных уравнений на равномерных сетках, при малых значениях возмущающего параметра s (определяющего ширину пограничного слоя) приводят к ошибкам, соизмеримым с самим решением. Такие мето-

1) Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (код проекта № 13-01-00618).

ды сходятся лишь, когда шаг равномерной сетки много меньше параметра 6, что при малых значениях б приводит к большим вычислительным затратам.

Однако при моделировании сложных задач с пограничными слоями, как правило, используются численные методы, основанные на "классических сеточных аппроксимациях" дифференциальных задач (см., например, [6]—[10]). Специальные численные методы для этих задач находятся лишь в стадии разработки. Например, исследование течений вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса на базе "классических аппроксимаций" уравнений динамики вязкой жидкости рассматривается в [11] (см. библиографию там же). Но лишь для частной задачи об обтекании плоской пластины потоком вязкой жидкости из [12] в монографии [3, гл. 12] построена и численно исследована специальная разностная схема на кусочно-равномерной сетке (см. также библиографию в [4, гл. 14, разд. 14.1 "Применение специальных численных методов к математическому моделированию"]). Следует отметить, что при современной вычислительной технике подход к решению сложных задач, основанных на "классических сеточных аппроксимациях" моделируемой задачи, требующий использования сеток с малым шагом, в настоящее время представляется оправданным.

Отметим, что существенный недостаток методов на основе стандартных сеточных аппроксимаций на равномерных сетках состоит в том, что строящиеся схемы сходятся формально, т.е. при условии, что все вычисления выполняются точно. В действительности, когда параметр б становится достаточно малым, погрешности, возникающие в реальных вычислениях, приводят к погрешностям численного решения, на много порядков превышающим точность сеточного решения, полученного при отсутствии вычислительных погрешностей. Причина здесь в том, что стандартные численные методы при условии их сходимости, вообще говоря, не являются 6-рав-номерно устойчивыми к возмущениям данных сеточной задачи, возникающим при вычислениях (см., например, утверждения теорем 3.2, 3.4, 3.5 и замечание 3 в разд. 3 для модельной задачи конвекции—диффузии).

Таким образом, в случае сингулярно возмущенных задач появляется интерес к практической задаче — при использовании стандартных схем выявить такие допустимые возмущения данных, при которых сеточные решения сходятся при "стандартном условии" сходимости, а именно когда шаг сетки много меньше параметра 6. При таких допустимых возмущениях уже можно использовать численные методы решения, развитые для задач при отсутствии возмущений.

Заметим, что возмущения данных, как правило, носят вероятностный характер, в то время как сходимость вычисляемого решения при наличии возмущений означает сходимость даже "самого плохого" возмущенного решения, что затрудняет экспериментальную оценку и исследование действительных ошибок вычисляемых сеточных решений при наличии возмущения данных.

В недавних работах было показано, что уже для одномерных сингулярно возмущенных задач конвекции—диффузии ошибки решений стандартных разностных схем на равномерных сетках, вызываемые возмущениями данных, могут быть соизмеримы с решениями, а также существенно превышать их; стандартные схемы не являются 6-равномерно устойчивыми к возмущениям данных и не являются 6-равномерно хорошо обусловленными (см. [13], [14]). В случае сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции—диффузии в [15] и [16] изучаются схемы метода декомпозиции сеточного решения, в которых регулярная и сингулярная компоненты решения являются решениями сеточных подзадач — классических разностных аппроксимаций, рассматриваемых на равномерных сетках. Схемы метода декомпозиции сеточного решения являются 6-равномерно хорошо обусловленными и 6-равномерно устойчивыми к возмущениям данных, однако стандартные схемы уже не обладают такими свойствами.

Для параболического уравнения конвекции—диффузии устойчивость схемы метода декомпозиции сеточного решения и неявной стандартной схемы, а также их обусловленность изучается в [17]; схема метода декомпозиции 6-равномерно хорошо обусловлена и устойчива к возмущению данных сеточной задачи, в то время как стандартная схема не является 6-равномерно хорошо обусловленной и устойчивой к возмущениям.

Ряд ранних результатов по исследованию обусловленности 6-равномерно сходящейся схемы на кусочно-равномерных сетках и стандартной схемы на равномерных сетках, а также обусловленности их матриц для задач конвекции—диффузии приводится в [4]; см. также библиографию там.

В настоящей работе рассматривается монотонная стандартная разностная схема на равномерных сетках для задачи Дирихле для сингулярно возмущенного обыкновенного дифференциального уравнения конвекции—диффузии с возмущающим параметром 6 (6 е (0, 1]) в случае возмущения данных сеточной задачи и/или компьютерных возмущений; разрабатывается подход к

построению численного метода, сходящегося со скоростью невозмущенной схемы. Строится компьютерная разностная схема, решение которой при наличии контролируемых возмущений данных сеточной задачи и/или компьютерных возмущений сходится в равномерной норме при 6 е (0, 1] и сохраняет скорость сходимости стандартной разностной схемы при отсутствии возмущений.

1.1. О содержании работы

Постановка краевой задачи для сингулярно возмущенного уравнения конвекции—диффузии и цель исследования приводятся в разд. 2. Стандартная разностная схема — схема на основе классической аппроксимации краевой задачи на равномерной сетке — рассматривается в разд. 3 в случае возмущения данных сеточной задачи. В этом же разделе получены оценки возмущения сеточного решения, ошибки возмущенного решения, а также оценка числа обусловленности стандартной разностной схемы. В разд. 4 рассмотрена стандартная схема в случае компьютерных возмущений — возмущений, порождаемых при численном решении сеточной задачи на компьютере. Здесь же получена оценка ошибки возмущенного решения в зависимости от величины возмущающего параметра 6, числа сеточных интервалов N и величины компьютерных возмущений А. В разд. 5 строится компьютерная разностная схема — вычислительная система, включающая стандартную схему с контролируемыми возмущениями данных сеточной задачи и гипотетический компьютер с контролируемыми компьютерными возмущениями. С ростом числа сеточных узлов решение компьютерной разностной схемы сходится в равномерной норме при 6 е (0, 1] с такой же скоростью, как невозмущенная стандартная разностная схема.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

2.1. На множестве Б = Б и Г, Б = (0, Г), рассмотрим задачу Дирихле для обыкновенного сингулярно возмущенного уравнения конвекции—диффузии (запись Ь