Условия задач по математике олимпиады Научные Старты

1 Условия задач по математике олимпиады Научные Старты 4 класс. Часть I сентября 2015 года 1. Расставьте скобки так, чтобы равенство : 5 3 = 12 стало верным. 2. На хлебозаводе стоит печь, которая за один час может испечь или 35 пирожков с картошкой, или 42 пирожка с грибами, или 28 пирожков с мясом. В течение дня печь должна три часа выпекать пирожки одного сорта, два часа пирожки другого сорта и один час пирожки третьего сорта. Какое максимальное число пирожков может испечь эта печь за день? 3. Артем сказал: У меня два брата и сестра. Я родился на два года раньше Максима, а Максим на три года позже Андрея. Когда младшему из нас было пять лет, родилась Марина. На сколько лет Артем старше Марины? нас было 5 лет, родилась Маша. На сколько лет Костя старше Маши? : 5 3 = Проведите замкнутую линию, состоящую из горизонтальных и вертикальных отрезков, которая проходит через центры всех клеток квадрата по одному разу. Границы клеток, выделенные жирным, пересекать не разрешается. 5. Один снарк ежедневно делится на двух таких же снарков. Если поместить одного снарка в аквариум, то аквариум полностью заполнится снарками за 12 дней. За сколько дней аквариум полностью заполнится, если с самого начала поместить в него четырех снарков? 4 класс. Часть II 6. Первого сентября в школьном дворе распустилось несколько роз. По дороге на праздничную линейку хулиган Вася сорвал половину цветов и подарил любимой учительнице Анастасии Валерьевне. Утром второго сентября расцвело еще 10 роз. Возвращаясь в этот день из школы домой, отличницы Лиза, Ева и Кира сорвали каждая по 7 роз, после чего цветов в школьном дворе не осталось. Сколько цветов было в букете, полученном Анастасией Валерьевной от Васи? 7. На балу в субботу каждая девочка танцевала с мальчиком. При этом восьми мальчикам пары не хватило. В воскресенье каждая девочка привела с собой одну подругу, и теперь все мальчики танцевали, зато двум девочкам не хватило пары. Сколько мальчиков и сколько девочек было на балу в субботу? 8. В одной семье росли мальчики и девочки. Однажды каждый из детей заявил, что у него поровну братьев и сестер. Оказалось, что трое детей ошиблись. Сколько в этой семье может быть детей? Найдите все возможные варианты.

2 5 класс 1. Можно ли разрезать квадрат 5 5 на семь прямоугольников, каждый из которых имеет вид 1 4 либо 1 3? Если можно, нарисуйте, как это сделать. Если нельзя, объясните почему. 2. Хулиган Вася позвонил в дверь квартиры Петра Петровича на 109-м этаже в 10:00 и тут же помчался вверх. Добежав до 113-го этажа, он сразу же позвонил в дверь квартиры Ивана Ивановича и с той же скоростью побежал вниз. В котором часу Вася попадет в цепкие руки милиционера Сидорова, дежурящего на 1-м этаже, если Иван Иванович позвонил в милицию и сообщил, что в его дверь звонили ровно в 10:02? Ответ объясните. 3. У Светы столько же конфет, сколько у Кати и Юли вместе. У Светы и Юли вместе конфет вдвое больше, чем у Кати. Во сколько раз у Светы и Кати вместе конфет больше, чем у Юли? Ответ объясните. 4. Город Маус-сити представляет собой 2015 норок, вырытых вокруг центральной площади. В этих норках живут серые и белые мышки, причем над входом в каждую норку написано количество серых и количество белых мышек, живущих в ней. Как-то раз из каждой норки выбежало по одной мышке и перебежало в соседнюю по часовой стрелке норку. Докажите, что найдется норка, надпись над которой осталась правильной. 5. Есть 12 карточек с надписями Левее нет карточек с неверными утверждениями, Левее лежит ровно одна карточка с неверным утверждением, Левее лежат ровно две карточки с неверными утверждениями. Левее лежат ровно одиннадцать карточек с неверными утверждениями. Игорь разложил эти карточки в ряд в каком-то порядке. Какое наибольшее число утверждений из написанных на карточках могло оказаться верными? Ответ объясните.

3 6 класс 1. В первой строке таблицы записаны подряд все числа от 1 до 9: Можно ли заполнить вторую строку этой таблицы теми же числами в каком-нибудь порядке так, чтобы сумма двух чисел в каждом столбце была точным квадратом? Ответ объясните. 2. Малыш и Карлсон ели конфеты на завтрак, причем Карлсон съел все свои конфеты, а Малыш только 1 5 своих конфет. Известно, что вместе они съели 4 всех конфет, имевшихся у 5 них до завтрака. У кого из них до завтрака было больше конфет и во сколько раз? Ответ объясните. 3. В саду жили два воробья и две синицы. Как-то раз к ним прилетели гости другие воробьи и синицы. Смогут ли все птицы сесть на одну ветку так, чтобы между любыми двумя воробьями сидело четное число птиц (возможно, ни одной), а между любыми двумя синицами нечетное число птиц? Ответ объясните. 4. На плоскости отмечено 60 точек. Известно, что 39 из них лежат на одной прямой, а остальные на этой прямой не лежат. Докажите, что эти 60 точек можно разбить на 20 троек так, что точки из одной тройки не лежат на одной прямой. 5. Девять гномов трижды становились по одному в клетки квадрата 3 3, и каждый раз гномы, оказавшиеся в соседних по стороне клетках, здоровались друг с другом. Докажите, что найдутся какие-то два гнома, которые так и не поздоровались.

4 7 класс 1. Три пирата поделили между собой добычу мешок монет. Первый пират взял себе 3 7 всех монет, второй 51% остатка. Остальное забрал третий пират. Сколько всего монет было в мешке, если третьему пирату досталось на 8 монет меньше, чем второму? Ответ объясните. 2. Знайка взял несколько натуральных чисел и перемножил их. Произведение оказалось равным 224. Какие числа перемножал Знайка, если самое маленькое из этих чисел было в два раза меньше самого большого? Ответ объясните. 3. Игорь хочет составить квадрат из одинакового количества маленьких квадратиков со сторонами 1 см, 2 см и 3 см. Какое наименьшее значение может иметь сторона такого квадрата? Ответ объясните. 4. Натуральные числа x, y и z удовлетворяют уравнению 1 x = 1 y + 1 z. Может ли одно из этих чисел быть однозначным, другое двузначным, а третье трехзначным? Ответ объясните. 5. В чемпионате Хогвартса по квиддичу участвовали команды Гриффиндор, Когтевран, Пуффендуй и Слизерин. Каждая команда сыграла с каждой по одному разу. В результате команда Гриффиндор обогнала команду Когтевран на такое же количество очков, на какое команда Пуффендуй обогнала команду Слизерин. При этом команды Когтевран и Пуффендуй набрали одинаковое число очков. Сколько матчей закончилось вничью? (В квиддиче за победу начисляют 3 очка, за ничью 1 очко, за поражение 0 очков).

5 8 класс 1. Принцесса со свитой пошла из дворца к роднику. В какой-то момент ей захотелось пить, и она отправила сразу двух своих фрейлин за водой. Сама же принцесса продолжила путь. Первая фрейлина побежала к роднику, а вторая с той же скоростью во дворец. Фрейлины вернулись одновременно, когда принцесса прошла ровно три четверти пути от дворца до родника. Во сколько раз фрейлины бегают быстрее, чем ходит принцесса? Ответ объясните. 2. Денис выбрал несколько натуральных чисел, среди которых не оказалось равных. Произведение двух самых маленьких из этих чисел равно 16, а произведение двух самых больших равно 225. Чему равна сумма всех выбранных Денисом чисел? Ответ объясните. 3. Медиана, проведенная из вершины A остроугольного треугольника ABC, пересекает высоту, опущенную на сторону AC, в точке P и образует с ней угол 45. Докажите, что BP = AC. 4. В одной из аудиторий сидит 20 участников олимпиады. Известно, что среди любых десяти из них есть три одноклассника. Верно ли, что в аудитории обязательно есть 5 человек из одного класса? 5. Найдите такие простые числа p, q, r и натуральное число k, что выполнено равенство p 2 + q r 2 = 9k