Проверка гипотезы о равномерном распределении

В качестве примера непрерывной случайной величины рассмотрим случайную величину X, равномерно распределенную на интервале (a; b). Говорят, что случайная величина X равномерно распределена на промежутке (a; b), если ее плотность распределения непостоянна на этом промежутке:

Из условия нормировки определим значение константы c . Площадь под кривой плотности распределения должна быть равна единице, но в нашем случае — это площадь прямоугольника с основанием (b - α) и высотой c (рис. 1).

Рис. 1 Плотность равномерного распределения Отсюда находим значение постоянной c :

Итак, плотность равномерно распределенной случайной величины равна

Найдем теперь функцию распределения по формуле: 1) для 2) для 3) для 0+1+0=1. Таким образом,

Функция распределения непрерывна и не убывает (рис. 2).

Рис. 2 Функция распределения равномерно распределенной случайной величины

Найдем математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины по формуле:

Дисперсия равномерного распределения рассчитывается по формуле и равна

Пример №1 . Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0.2 . Показания прибора округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка: а) меньшая 0.04 ; б) большая 0.02 Решение. Ошибка округления есть случайная величина, равномерно распределенная на промежутке между соседними целыми делениями. Рассмотрим в качестве такого деления интервал (0; 0,2) (рис. а). Округление может проводиться как в сторону левой границы — 0, так и в сторону правой — 0,2, значит, ошибка, менее либо равная 0,04, может быть сделана два раза, что необходимо учесть при подсчете вероятности:

Для второго случая величина ошибки может превышать 0,02 также с обеих границ деления, то есть она может быть либо больше 0,02, либо меньше 0,18.

Тогда вероятность появления такой ошибки:

Показатели центра распределения.Средняя взвешенная

Показатели вариации.Абсолютные показатели вариации.Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.R = Xmax - XminR = 70 - 0 = 70Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Среднее квадратическое отклонение.

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 43 не более, чем на 23.92Проверка гипотез о виде распределения.4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности.Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b)надо:1. Оценить параметры a и b - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров):

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b * - a * )3. Найти теоретические частоты:n1 = nP1 = n[f(x)*(x1 - a * )] = n*1/(b * - a * )*(x1 - a * )n2 = n3 = . = ns-1 = n*1/(b * - a * )*(xi - xi-1)ns = n*1/(b * - a * )*(b * - xs-1)4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения.

Решение:1. Найдем оценки параметров a * и b * равномерного распределения по формулам:

2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:f(x) = 1/(b * - a * ) = 1/(84.42 - 1.58) = 0.01213. Найдем теоретические частоты:n1 = n*f(x)(x1 - a * ) = 1 * 0.0121(10-1.58) = 0.1n8 = n*f(x)(b * - x7) = 1 * 0.0121(84.42-70) = 0.17Остальные ns будут равны:ns = n*f(x)(xi - xi-1) i ni n * i ni - n * i (ni - n*i) 2 (ni - n * i) 2 /n * i 1 0.14 0.1 0.0383 0.00147 0.0144 2 0.09 0.12 -0.0307 0.000943 0.00781 3 0.1 0.12 -0.0207 0.000429 0.00355 4 0.08 0.12 -0.0407 0.00166 0.0137 5 0.16 0.12 0.0393 0.00154 0.0128 6 0.13 0.12 0.0093 8.6E-5 0.000716 7 0.12 0.12 -0.000701 0 4.0E-6 8 0.18 0.17 0.00589 3.5E-5 0.000199 Итого 1 0.0532 Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).Её границу Kkp = χ 2 (k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ 2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры a и b).Kkp = 11.07050; Kнабл = 0.0532Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл Пример №3 . Для статистического анализа некоторой случайной величины был построен вариационный ряд: xi 1 2 3 4 5 6 7 mi 26 21 18 32 26 26 31 Проверьте гипотезу о том, что данная случайная величина имеет равномерное дискретное распределение. Уровень значимости a= 0,1. Решение. Выдвигаем основную и альтернативную гипотезы: H0: данная случайная величина имеет равномерное дискретное распределение; H1: данная случайная величина не имеет равномерное дискретное распределение. Считаем, что данное распределение является равномерным дискретным. Тогда вероятности всех значений этой величины одинаковы и равны (k – количество значений случайной величины). Умножаем эту вероятности на объём выборки (n = 180) и получаем теоретические частоты mi’ = 0,1429×180 = 25,714 (они также будут все одинаковыми). Заполняем два оставшихся столбца и находим суммы по столбцам. xi mi pi mi’ mi– mi’ 1 26 0,1429 25,714 0,286 0,003181 2 21 0,1429 25,714 -4,714 0,864191 3 18 0,1429 25,714 -7,714 2,31414 4 32 0,1429 25,714 6,286 1,536665 5 26 0,1429 25,714 0,286 0,003181 6 26 0,1429 25,714 0,286 0,003181 7 31 0,1429 25,714 5,286 1,086637 S 180 1 180 0 5,811 Последняя сумма соответствует искомому критерию Χнабл 2 =5,811. Данная выборка разбита на l = 7 интервалов. Для дискретного равномерного распределения р = 0 (подбираемых параметра нет). Поэтому число степеней свободы в данном случае k = l-p - 1 = 7 - 0 - 1 = 6. При уровне значимости a= 0,1 и найденному числу степеней свободы из таблицы критических точек распределения Χ 2 находим значение критерия Χкр 2 =10.64. Т.к. Χнабл 2 < Χкр 2 , то нулевая гипотеза принимается: выборочные данные не противоречат тому, что распределение данной случайной величины является равномерным дискретным.

Пример №4 . Игральную кость бросили 600 раз и результаты наблюдений записали в виде статистического ряда. Случайная величина X – число выпавших очков, ni – частота выпадения i очков, где i= 1, 2, 3, 4, 5, 6 . На уровне значимости α = 0,01 проверить гипотезу о симметричности игральной кости.

Пример №5 . Заданная непрерывная случайная величина Х равномерно распределена в интервале (α, β). Найти: 1) Числовые характеристики: математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение. 2) интегральную функцию распределения. 3) Сделать графики дифференциальной и интегральной функций распределения. α=3, β=8