45. Односторонние пределы. Непрерывность и разрывы функции. Односторонние пределы

Односторонний предел— предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Левый и правый пределы функции

Число называетсяправым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 1). Правый предел обозначается

Число называетсялевым пределом функции в точке , если для такое, что для любого и , выполняется неравенство (рис. 2). Левый предел обозначается

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Если существуют и , причем , то существует и . Обратное утверждение также верно.

В случае, если , то предел не существует.

Точка , в которой нарушено хотя бы одно из трех условийнепрерывности функции, а именно:

функция определена в точке и ее окрестности;

существует конечный предел функции в точке ;

это предел равен значению функции в точке , т.е.

называется точкой разрыва функции.

Функция не определена в точке , а значит, эта точка является точкой разрыва указанной функции.

Точка разрыва первого рода

Если в точке существуют конечные пределы и , такие, что , то точка называетсяточкой разрыва первого рода.

Функция в точке имеет разрыв первого рода, так как

Точка разрыва второго рода

Если хотя б один из пределов или не существует или равен бесконечности, то точка называетсяточкой разрыва второго рода.

Для функции точка - точка разрыва второго рода, так как .

Точка устранимого разрыва

Если существуют левый и правый пределы функциив точке и они равны друг другу, но не совпадают со значением функции в точке : или функция не определена в точке , то точка называетсяточкой устранимого разрыва.

Рассмотрим функцию . Найдемодносторонние пределыи значение функции в точке :

Так как и не равны значению функции в точке, то точка - точка устранимого разрыва.

46. Определение производной. Геометрический смысл, механический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к кривой и точке.

Пусть функция у = f(x) определена на некотором интервале (а; b). Проделаем следующие операции:

- аргументу х (а; b) дадим приращение ∆х: (х + ∆х) (а; b);

- найдем соответствующее приращение функции: ∆у = f(x+∆x) - f(х);

- составим отношение приращения функции к приращению аргумента: ;

- найдем предел этого отношения при ∆х → 0:

Если этот предел существует, то его называют производной функции f(x) и обозначают одним из символов ;f'(x); у'; ; .

Производной функции у = f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Итак, по определению

Функция у = f(х), имеющая производную в каждой точке интервала (а; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производной функции у = f(х) в точке х = x0 обозначается одним из символов: илиy'(x0).

Пусть материальная точка (некоторое тело) М движется неравномер­но по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует опре­деленное расстояние ОМ = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т. е. S = S(t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занима­ет положение M, то в момент времени t + ∆ t (∆t — приращение времени) точка займет положение M1, где ОМ1 = S + ∆S (∆S — приращение расстояния) (см. рис. 1). Таким образом, перемещение точки М за время ∆t будет ∆S = S(t + ∆t) – S(t).

Отношение выражает среднюю скоростьдвижения точки за вре­мя∆t:

Средняя скорость зависит от значения ∆t: чем меньше ∆t, тем точнее средняя скорость выражает скорость движения точки в данный момент времени t.

Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежут­ка времени ∆t называется скоростью движения точки в данный момент времени(или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V,получим

Если функция y=f(x) описывает какой-либо физический процесс, то производная есть скорость протекания этого процесса.

Возьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1(см. рис. 2).

Прямую MM1, проходящую через эти точки, называют секущей.

Пусть точка М1, двигаясь вдоль кривой L, неограниченно приближа­ется к точке М. Тогда секущая, поворачиваясь около точки М, стремится к некоторому предельному положению МТ.

Касательной к данной кривой в данной точке М называется предельное положение МТ секущей MM1, проходящей через точку М, ко­гда вторая точка пересечения М1 неограниченно приближается по кривой к точке М.

Рассмотрим график непрерывной кривой у = f(x), имеющий в точке

М(x; у)невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффи­циент k= tg α,где α — угол касательной с осью Ох.

Для этого проведем через точку М и точку М1графика с абсциссой х + ∆x; секущую (см. рис. 3). Обозначим через φ — угол между секущей МM1 и осью Ох. На рисунке видно, что угловой коэффициент секущей

При ∆x → 0 в силу непрерывности функции приращение ∆у тоже стре­мится к нулю; поэтому точка M1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол φ → α, т. е. .

Поэтому угловой коэффициент касательной равен

k = tg α = = = . (7.5)

Следовательно, угловой коэффициент касательной , то есть производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке, абсцисса которой равна . В этом заключается геометрический смысл производной.

Если точка касания имеет координаты (рис.4), то угловой коэффициент касательной есть . Пользуясь уравнением прямой, проходящей через заданную точку в заданном направлении , можно записать уравнения касательной: .

Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

Так как нормаль перпендикулярна касательной, то ее угловой коэффициент

Поэтому уравнение нормали имеет вид (если ).

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.