Математика 8 класс Медиана и биссектриса треугольника

1 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫЙ УЧЕБНО-НАУЧНЫЙ ЦЕНТР Математика 8 класс Медиана и биссектриса треугольника Новосибирск

2 Медиана и биссектриса треугольника Многие задачи по планиметрии содержат такие понятия, как биссектриса и медиана В этом задании рассмотрим некоторые теоремы и свойства, связанные с ними Для начала вспомним основные определения Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке Точка пересечения медиан треугольника делит каждую медиану в отношении : 1(считая от вершины) В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла этого треугольника от вершины до точки пересечения с противоположной стороной Все три биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке Рассмотрим одно дополнительное построение, которое помогает при решении многих задач Пусть дан треугольник АВС и точка М находится на стороне ВС Допустим дано, что АС = 0, АМ = 1 и ВМ : МС = 1 : 4, те условия соответствуют следующему рисунку (рис1) Построим прямую l, проходящую через вершину M В параллельно стороне АС и продолжим АМ до пересечения с прямой l в точке F Ясно, что Рис 1 треугольники АМС и ВМF

3 подобны (коэффициент подобия равен 4) Получаем, что BF = 5, MF = 3, те появились новые данные, которые помогут решить задачу Обратим внимание на два частных случая для прямой l Если АМ медиана (ВМ : МС = 1 : 1), то BF = AC и MF = AM(происходит Рис Если АМ биссектриса, то треугольник АBF равнобедренный(по углам) И «новый» отрезок ВF равен стороне AВ Продолжение биссектрисы отрезок MF AB равен AM (рис3) AC Прямую l будем называть «суперпрямой» продолжение медианы на свою длину) (рис) Задача 1 Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы двух сторон, между которыми она заключена Решение Пусть AB (рис4), AC b, BC a и CM m Пусть F точка пересечения прямой СМ и прямой, проходящей через А параллельно прямой ВС Ясно, что MAF MBC (по стороне и двум Рис 4 прилежащим углам) Получили, что MF MC m и AF BC a Рис 3 3

4 По неравенству треугольника для AFC имеем: a b m или a b m Теорема 1 (формула длины медианы) Длина медианы m треугольника со сторонами a, b,, проведенной к стороне, a b вычисляется по формуле: m Доказательство Продолжим медиану до пересечения с прямой, проходящей через А и параллельной ВС(рис5) Ясно, что BCM AFM Откуда MF m и AF a Пусть ACB Тогда CAF 180 Рис 5 Применим теорему косинусов для треугольников АВС и AFC и получим систему уравнений: m a b a ab os b, ab os 180 Заметим, что os 180 os Сложим эти уравнения в системе и получим: m a b 1 a Формула m a b доказана Задача Найти отношение суммы квадратов медиан треугольника к сумме квадратов всех его сторон 4

5 Решение Пусть a, b, стороны треугольника и m a, m b, m соответствующие им медианы Применим формулу длины медианы три раза и получим следующую систему: 1 m a b, 1 mb a b, 1 ma b a Возведем каждое уравнение в квадрат и сложим Получим равенство: 3 ma mb m a b 4 И искомое соотношение 3 : 4 Ответ: 3 : 4 Теорема (Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника) Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам Доказательство Пусть a и b - стороны треугольника, f и g - отрезки третьей стороны (соответственно), на которые её делит биссектриса l Тогда надо a f доказать равенство Рис 6 b g Доказательство теоремы проведем с помощью приведенного дополнительного построения Проведем «суперпрямую», параллельную АС, и продолжим биссектрису до пересечения в 5

6 точке F Ясно, что BF b (рис6)из подобия треугольников АМС и a f FМВ (по углам) следует требуемое равенство: b g Теорема 3 Длина биссектрисы l треугольника со сторонами a, b,, проведенной к стороне из угла, вычисляется по ab os формуле: l a b Доказательство Рассмотрим чертеж(рис7) Запишем сумму площадей треугольников АВМ и АМС: b l a l sin sin и приравняем эту сумму площади треугольника АВС b l a l a b sin sin sin l sin ( a b) ab sin os В итоге получаем, что и теорема доказана ab os l a b Рис 7 Задача 3 Доказать, что длина биссектрисы ( l ) треугольника, заключенная между сторонами 10 и 15, меньше 1 Решение Используем формулу Рис 8 6 l ab os Имеем, что a b l os 1 os ( BAC ) Так как

7 < < 180, то 0 < < 90 и 0 os 1 Следовательно, l 1 (рис8) Замечание Данное утверждение ( l 1 ) докажем с помощью дополнительного построения - построение «суперпрямой» Из подобия следует, что продолжение биссектрисы MF l 3 Тогда можно записать неравенство треугольника: l l, 3 из которого и получаем, что l 1 Задача 4 В равнобедренном треугольнике АВС ( AB BC ) биссектрисы AL и ВН пересекаются в точке F Известно, что AF : FL 7 : 4 Найти отношение BF : FH Решение Пусть BF x, FH y и AF 7 f (рис9) Тогда FL 4 f По свойству биссектрисы в ABL верно равенство 7 f AB 4 f BL Пусть AB 7 a Тогда BL 4 a По условию AB BC, тогда LC 3 a Применим свойство биссектрисы для треугольника АВС: Рис 9 3a AC 1a и AC 4a 7a 4 В равнобедренном треугольнике биссектриса ВН является и медианой, те AH AC 1 a 8 Отрезок AF биссектриса в треугольнике АВН Следовательно, имеем равенство: 7

8 x 7a y 1 a 8 x 8 В итоге, y 3 Ответ: 8 : 3 Теорема 4 Справедливо следующее равенство: l ab fg, где a, b стороны треугольника, l биссектриса угла, образованного сторонами a и b, f, g отрезки третьей стороны, на которые ее делит биссектриса l Доказательство Пусть l длина биссектрисы, f, g длины отрезков, на которые она делит сторону(рис10) По теореме косинусов: a l f f l os Рис 10 b l g g l os Умножив первое из этих равенств на g, второе на f и сложив, получим: ga fb gl gf fl fg ga fb ( l fg)( f g ) (1) a f По свойству биссектрисы имеем b g f g Следовательно a b, b a g f Тогда ga fb ga f g b fb g f 8 a () Приравняем правые части уравнений (1) и (): ( l fg)( f g) abf abg l fg ab l ab fg Теорема доказана Рис 11

9 Рассмотрим ещё несколько задач Задача 5 В прямоугольном треугольнике АВС катет АВ равен 18 и катет АС равен 4 Найти длину биссектрисы CL Решение По теореме Пифагора имеем BC 18 4, те BC 30 (рис11) AL 4 AL 4 4 По свойству биссектрисы, те или AL AB LB 30 LB 5 9 Получили, что AL 8 Тогда CL 4 8 В итоге, CL 8 10 Замечание Получив AL 8 и LB 10, длину биссектрисы можно найти, применив теорему 4, те CL Итак, CL 8 10 Ответ: 8 10 Задача 6 В треугольнике АВС медиана ВМ, высота АH и биссектриса СЕ пересекаются в одной точке Р Известно, что AC 6, BC 8 Найти высоту АН Решение Через вершину А проведем параллельную ВС прямую и продолжим отрезки ВМ и СЕ до пересечения с этой прямой в точках F и L соответственно (рис1) Заметим, что AF BC 8 и LA AC 6 ( CAL равнобедренный) Пусть CH x и Рис 1 BH 8 x Ясно, что CPH

FPA Из этих подобий имеем равенство: 9

10 x PH 8 x 4, откуда x 6 PA 8 7 По теореме Пифагора получаем: AH В итоге AH Ответ: 7 33 Задача 7 В треугольнике АВС биссектриса AD делит сторону ВС в отношении BD : CD : 1 В каком отношении медиана СМ делит эту биссектрису? Решение Пусть Р точка пересечения биссектрисы AD и медианы СМ Пусть AM MC a (рис13) Из условия, что BD : DC : 1, следует, что AC a (по свойству биссектрисы BD) Продолжим биссектрису AD до пересечения с прямой, проходящей через точку С параллельно АВ Рассмотрим ACF Так как CF AB и AD биссектриса, то ACF - равнобедренный треугольник, и AC CF a Рис 13 Пусть AP x и PD y Тогда x y из подобия треугольников ADB и FDC получаем, что DF Из равенства APM CPF следует равенство: AP PF, те x y x y В итоге имеем x : y 3: 1 Ответ: 3 : 1 10

11 Задачи для самостоятельного решения Задача 1 В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса острого угла; отрезок, соединяющий ее основание с точкой пересечения медиан, перпендикулярен катету Найти острые углы треугольника Задача Найти площадь такого треугольника, сторонами которого служат медианы треугольника с площадью, равной S Задача 3 Две стороны треугольника равны 6 и 8 Медианы, проведенные к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом Найти третью сторону треугольника Задача 4 В прямоугольном треугольнике АВС (АС гипотенуза) проведены высота BD и медиана ВМ Отрезок BF делит DBM пополам Доказать, что BF биссектриса и ABC Задача 5 Периметр равнобедренного треугольника равен 16 Медиана, проведенная к боковой стороне, равна 17 Найти стороны треугольника Задача 6 В треугольнике АВС точка К середина медианы ВМ Известно, что AB 7, BC 5, AK 6 Найти СК Задача 7 Построить биссектрис угла, вершина которого недоступна, те расположена за пределами листа бумаги Задача 8 Построить треугольник, если даны две стороны и медиана, выходящие из общей вершины Задача 9 В параллелограмме ABCD биссектрисы углов А и D пересекают сторону ВС в точках М и К соответственно, а отрезки АМ и DК пересекаются в точке Р Найти длину стороны ВС, если известно, что АВ = 15 и АР : РМ = 3 : Задача 10 В треугольнике АВС биссектриса AF и медиана BM перпендикулярны Найти площадь треугольника АВС, если длина медианы равна m, а длина биссектрисы равна l Задача 11 В прямоугольном треугольнике медианы к катетам равны 5 и 73 Найти гипотенузу треугольника Задача 1 Найти длину биссектрисы угла ВАС треугольника АВС, если АВ = 1, АС = 15, ВС = 18 Задача 13 Биссектриса угла при основании равнобедренного треугольника делит противоположную сторону так, что отрезок, 11

12 прилежащий к вершине треугольника, равен основанию Доказать, что и биссектриса равна основанию Задача 14 В равнобедренном треугольнике угол при вершине 0 содержит 36, а биссектриса угла при основании равна 0 Найти длины сторон треугольника Задача 15 С помощью циркуля и линейки построить треугольник по двум сторонам и биссектрисе угла, который образуют заданные стороны Специализированный учебно-научный центр НГУ, 01 1