Лекция 2. движущейся точки. 1. Скорость и ускорение произвольно. 2. Анализ некоторых видов движения

2 1. Скорость и ускорение произвольно движущейся точки Скорость характеризует быстроту движения Средняяскорость этоестьотношениевектораперемещенияковремени, за которое это перемещение произошло ср r (.1) r Модуль средней скорости ср (.) Направление вектора ср совпадает с направлением вектора перемещения r На отрезке r ср cons Неважнокакдвижетсятелопо прямойлинииилипокривой, останавливается в пути или нет Средняя путевая скорость - это есть отношение пути ко времени, за которое этот путь пройден ср S (.3)

3 Чтобы задать все нюансы движения, вводят мгновенную скорость - это скорость в данный момент времени, в данной точке траектории Мгновенная скорость это предел, к которому стремится средняя скоростьпри 0 lim 0 r dr r ( ) dr d ( l + l + l ) ds S () l dr r () Если задан путь S(), то (.5) Учитывая, что r l + l + l d + l l, получим d + l + l d + l (.4) Вектор мгновенной скорости (.6) d + + Это первая производная радиусвектора по времени d ; ; d - проекции вектора скорости на оси координат Модуль вектора мгновенной скорости (.7)

4 0 ra А Направление вектора мгновенной скорости dr rb r В τ S Пусть материальная точка перемещается изположенияавположениев Введем единичный вектор τ, направленныйпокасательнойктраектории Есливзятьбесконечномалоеприращение dr, то dr τ ds dr ds τ τ τ Следовательно,, тоесть (.8) Из выражения (.8) следует, что в любой точке траектории мгновенная скорость направлена по касательной к траектории (наглядные примеры: отрыв капель воды от колеса, искр от заточного станка)

5 Ускорение это мера изменения скорости со временем Среднееускорение этоотношениевектораизмененияскоростиковремени, за которое это изменение произошло a ср (.9) a ср a Мгновенное ускорение это предел, к которому стремится среднее ускорение при 0 d a lim d ( ) a () (.11) 0 dr d dr d r Учитывая, что, получим a ( ) r ( ) d r a r ( ) (.1) (.10) Ускорение -это первая производная скорости по времени Ускорение это вторая производная радиус-вектора по времени

6 Распишем вектор скорости через проекции на оси координат где a d l + l и подставим в формулу (.11) d ( l + l + l ) l d a ; a ; Вектор ускорения в этом случае будет иметь вид + l d d a + l a d + l d проекции вектора ускорения на оси координат la + l a + l a (.1) a a + a + Модуль вектора ускорения a (.13) В общем случае, при криволинейном движении, мгновенная скорость может изменяться как по величине, так и по направлению. Найдем ускорение в этом случае.

7 Мы знаем, что вектор мгновенной скорости направлен всегда по касательной к траектории, то есть τ (.14) Этосложнаяфункция, таккакτи зависят от времени, причем τ зависит от времени через S τ τ ( S ); S S ( ) Найдем первую производную скорости (.14) по времени d d dτ d τ + τ d ds τ dτ n ds, где ; ds ds R R радиускривизны, d d С учетом (.15), получим τ + n R или d a τ + n (.17) R Первоеслагаемоевформуле (.17) характеризуетизменениевеличины (модуля) скорости и имеет направление, совпадающее с τ, то есть с касательной к траектории. Это ускорение называют тангенциальным линейным ускорением a τ τ d (.18) -вектор тангенциального ускорения a τ d (.15) n -нормаль, вектор кτи направленный к центру кривизны (.19) -величина (модуль) тангенциального ускорения

8 Второе слагаемое в формуле (.17) характеризует изменение скорости по направлениюинаправленопонормали n Его называют нормальным или центростремительным ускорением n R a n (.0) -векторнормального ускорения R a n (.1) -модульнормального ускорения Таким образом, вектор полного ускорения при любом криволинейном движенииможетбытьпредставленввидесуммыдвухвекторов τ Так как a τ a n a (всегда a + a (.) τ n n τ a a aτ + a a и n ), то модуль полного ускорения равен a n (.3)

9 . Анализ некоторых видов движения Уравнения движения 1. Равномерное прямолинейное движение ( ) cons; a( ) 0 r ( ) r + ; ( + 0 ) 0 0 () х() Графики a() S() ( ) a ( ) cons; a a τ o ± S ( ). Неравномерное прямолинейное движение Если n R a cons a ; r ( ) S ( ) ± 1 0, тк.. R равнопеременным (ускоренным или замедленным) 0 r a 0 ± 0( R 0 ± ),то движение называют a 0 х0 () S() уск. замедл. уск. a0 -a0 a() уск. замедл. S() замедл.

10 3. Движение тела, брошенного под углом к горизонту с начальной скоростью 0 (это криволинейное движение с ускорением g) Траектория движения - парабола у o Это движение сложное и его можно разложить на составляющих: вдоль оси х равномерное прямолинейное со скоростью o 0 cosα икоординатой o вдоль оси у равнопеременное со скоростью 0 ± g и координатой 0 ± g²/ α 0 g S an aτ g х 0 S х o дальностьполета Полное ускорение g всегда направлено вниз (в любой точке) однако разложение его на составляющие в каждой точке траектории различно

11 Движение этоосновноепонятие, которое пронизывает все области физики. Исторически изучение простых движений явилось первым приложением научного метода к проблемам реального физического мира. Основываясьнарядеостроумныхэкспериментовичеткихлогическиаргументах, Галилео Галилей правильно сформулировал законы движения падающих тел. В наши дни эти успехи кажутся незначительными, однако именно они положили начало научному мышлению свободному от господства идей древнегреческих философов, в первую очередь Аристотеля. Подход Аристотеля к объяснению явлений природы был преимущественно дедуктивным, не предусматривающим обращения к экспериментам.

12 Анимации известных (историческизначимых) экспериментовгалилея

13 Опыты Галилея с падающими телами Галилей впервые выяснил, что тяжелые предметы падают вниз так же быстро, как и легкие. Чтобы проверить это предположение ГалилеоГалилей (полегенде) сбрасывал с Пизанской башни в одинитотжемоментпушечное ядро массой 80 кг и значительно более легкую мушкетную пулю массой 00 г. Оба тела имели примерно одинаковую обтекаемую форму и достигли земли одновременно. Донего господствовала точка зрения Аристотеля, которыйутверждал, что легкие тела падают с высоты медленнеетяжелых.

14 Свободное движение тел в гравитационном поле Земли.

15 Движение шарика по наклонной плоскости Галилей использовал наклонную плоскость с гладкой канавкой посередине, покоторой скатывались латунные шары. По водным часам он засекал определённый интервал времени и фиксировал расстояния, которые за это время преодолевалишары. Галилей выяснил, что если время увеличить в два раза, то шары прокатятся в четыре раза дальше (т.е. зависимостьквадратичная). Это опровергало мнение Аристотеля, что скорость шаров будет постоянной.

16 Во всех этих примерах движения не учитывается сопротивление воздуха и трение. Падение тел в атмосфере тормозится сопротивлением воздуха, поэтому скорость тела не возрастает линейно во времени, а приближается асимптотически к предельному значению, называемомуустановившейсяскоростью, которая зависит от размеров тела, формы тела и массы тела. () Установившаяся скорость 0 Благодаря сопротивлению воздуха скорость парашютиста в затяжном прыжке не превышает установившегося значения