Иерархический кластерный анализ с предварительным факторным анализом

Рассмотрим пример из области географии. В 28 европейских странах в 1985 году были собраны следующие данные, выступающие здесь в качестве переменных:

Переменная Значение land Страна sb Процент городского населения lem Средняя продолжительность жизни мужчин lew Средняя продолжительность жизни женщин ks Детская смертность на 1000 новорожденных so Количество часов ясной погоды в году nt Количество дней пасмурной погоды в году tjan Средняя дневная температура в январе tjul Средняя дневная температура в июле

Эти данные вы увидите, если откроете файл europa.sav. Переменная land является текстовой переменной, предназначенной для обозначения страны.

Целью нашего кластерного анализа является нахождение стран с похожими свойствами. При самом общем рассмотрении переменных становится заметным, что данные, содержащиеся в файле связаны исключительно с ожидаемой продолжительностью жизни или с климатом. Лишь процентный показатель населения, проживающего в городах, не вписывается в эти рамки. Стало быть, сходства, которые возможно будут найдены между некоторыми странами, основываются на продолжительности жизни и климате этих стран.

Исходя из вышесказанного, в данном случае перед проведением кластерного анализа рекомендуется сократить количество переменных. Подходящим методом для этого является факторный анализ, который можно провести, выбрав в меню Analyze (Анализ) ► Data Reduction (Преобразование данных) ► Factor. (Факторный анализ)

Если Вы проведёте факторный анализ и примените, к примеру, вращение по методу варимакса, то получите два фактора. В первый фактор войдут переменные: lem, lew, ks и sb, а во второй фактор - переменные: so, nt, tjan и tjul. Первый фактор однозначно характеризует продолжительность жизни, причём высокое значение фактора означает высокую продолжительность жизни, а второй отражает климатические условия; здесь высокие значения означают тёплый и сухой климат. Вместе с тем в первый фактор интегрирована и переменная sb, что очевидно указывает на высокую ожидаемую продолжительность жизни при высоких процентных долях городского населения. Можно рассчитать факторные значения для этих двух факторов и добавить их к файлу под именами fac1_1 и fac2_1. Указанные переменные уже включены в файл europa.sav. Высокой продолжительностью жизни обладают северные страны (высокие значения переменной fac1_1) или южные страны с тёплым и сухим климатом (высокие значения переменной fac2_1). Факторные значения можно вывести с помощью меню Analyze (Анализ) / Reports (Отчёты) / Case Summaries. (Итоги по наблюдениям). Они выглядят следующим образом:

Case Summaries a (Итоги по наблюдениям)

LAND (Страна) Lebenserwartung (Ожидаемая продолжительность жизни) Klima (Климат) 1 ALBA -1,78349 ,57155 2 BELG ,55235 -,57937 3 BULG -,43016 -,13263 4 DAEN ,97206 -,23453 5 DDR ,26961 -,33511 6 DEUT ,19121 -,44413 7 FINN -,30226 -1,28467 8 FRAN 1,05511 1,04870 9 GRIE ,12794 2,65654 10 GROS ,75443 -,05221 11 IRLA ,16370 -,66514 12 ISLA 1,75315 -,97421 13 ITAL ,40984 1,68933 14 JUGO -2,63161 -,44127 15 LUXE -.16469 -,98618 16 NIED 1,31001 -,29362 17 NORW ,96317 -,46987 18 OEST -,20396 -,31971 19 POLE -,65937 -,92081 20 PORT -1,10510 1,59478 21 RUMA -1,32450 ,09481 22 SCHD 1,22645 -,20543 23 SCHZ ,56289 -,45454 24 SOWJ -,67091 -1,32517 25 SPAN ,83627 1,91193 26 TSCH -,59407 -,40632 27 TUER -,52049 1,04424 28 UNGA -,75761 -,08695 Total N 28 28 28

a. Limited to first 100 cases (Ограничено первыми 100 наблюдениями).

Распределим эти 28 стран по кластерам при помощи двух факторов: ожидаемая продолжительность жизни и климат.

Agglomeration Schedule (Порядок агломерации)

Stage (Шаг) Cluster Combined (Объединение в кластеры) Coefficients (Коэффициенты) Stage Cluster First Appears (Шаг, на котором кластер появляется впервые)

Next Stage (Следующий шаг) Cluster 1 (Кластер 1) Cluster 2 (Кластер 2) Cluster 1 (Кластер 1) Cluster 2 (Кластер 2) 1 16 22 1,476 0 0 8 2 2 23 1,569 0 0 10 3 5 6 1,803 0 0 5 4 4 17 5,546 0 0 8 5 5 11 8,487 3 0 10 6 3 18 8,617 0 0 12 7 7 15 ,108 0 0 15 8 4 16 ,118 4 1 13 9 26 28 ,129 0 0 12 10 2 5 ,148 2 5 18 11 19 24 ,164 0 0 15 12 3 26 ,183 6 9 20 13 4 10 ,228 8 0 18 14 13 25 ,231 0 0 19 15 7 19 ,254 7 11 20 16 1 21 ,438 0 0 22 17 20 27 ,645 0 0 22 18 2 4 ,648 10 13 21 19 8 13 ,810 0 14 23 20 3 7 ,939 12 15 24 21 2 12 1,665 18 0 24 22 1 20 1,793 16 17 25 23 8 9 1,839 19 0 27 24 2 3 2,229 21 20 26 25 1 14 4,220 22 0 26 26 1 2 5,925 25 24 27 27 1 8 6,957 26 23 0

Сначала приводятся самые важные результаты. В таблице порядка агломерации Вы можете проследить последовательность образования кластеров; объяснения в разделе 20.1. Скачкообразное изменение коэффициентов наблюдается при значениях 2,229 и 4,220; это означает, что после образования четырёх кластеров больше не должно происходит ни каких объединений и решение с четырьмя кластерами является оптимальным.

Принадлежность наблюдений к кластерам можно взять из нижеследующей таблицы, которая содержит также и информацию о принадлежности к кластерам для других вариантов решения (пять, три и два кластера).

Если Вы посмотрите на четырёхкластернное решение на нижеследующей таблице, то заметите, к примеру, что к третьему кластеру относятся следующие страны: Франция, Греция, Италия и Испания. Это страны с высокой продолжительностью жизни и тёплым климатом и поэтому не зря они являются предпочтительными для отдыха.