Амебы сингулярных стратов классического дискриминанта

тесно связан многочлен Δ от переменных a = ( a 0 , … ,a n ) — дискриминант уравнения.

Он «отвечает» за наличие кратных корней в том смысле, что Δ ( a ) = 0 в том и только том случае, когда уравнение имеет по крайней мере один кратный корень. Дискриминант Δ является неприводимым многочленом с целыми коэффициентами, определен однозначно, с точностью до выбора знака, и может быть выражен через корни r 1 ,r 2 , … ,r n уравнения при помощи формулы

Следуя [14, глава 12] , мы будем считать знак в дискриминанте равным ( - 1) n ( n - 1) ∕ 2 .

Классический определитель Сильвестра дает явное выражение для дискриминанта через коэффициенты уравнения:

Для n = 2 эта формула дает Δ = 4 a 0 a 2 - a 1 2 , для n = 3

Число слагаемых в Δ быстро растет с увеличением n , равно как и абсолютные величины коэффициентов в этих слагаемых. При n = 4 дискриминант содержит 16 мономов, в то время как при n = 5 их число равно 59.

Для любого n мономы n n a 0 n - 1 a n n - 1 и Б a 1 2 a 2 2 … a n - 1 2 присутствуют в Δ .

Дискриминант уравнения мы называем классическим . Обозначим через ∇ его нулевое множество и будем его называть дискриминантным множеством уравнения или многочлена f .

Геометрически гиперповерхность ∇ есть двойственное многообразие для кривой Веронезе [1 : t : t 2 : … : t n ] в ℂℙ n . Иными словами, она состоит из тех векторов a ∈ ℂ 1+ n , для которых соответствующая гиперплоскость a 0 z 0 + a 1 z 1 + … + a n z n = 0 не трансверсальна параметризованной кривой z ν = t ν (см. [14] ).

Рассмотрим подмножества M j ⊂∇ , состоящие из таких a ∈ ℂ n +1 , для которых уравнение имеет корни кратности ≥ j . Эти подмножества образуют вложенную цепочку

Каждое M j +1 принадлежит множеству сингулярных точек sng M j , при этом страт S j = M j \M j +1 состоит из точек, где M j либо неособо, либо самопересекается своими гладкими кусками. Поэтому мы называем M j сингулярными стратами каспидального типа . Такие страты впервые рассматривались в работе Д. Гильберта [17] , см. также [27] . Здесь мы изложим недавние наблюдения Е.Н. Михалкина и А.К. Циха [41] .

Определенную информацию о приведенном дискриминантном множестве и его сингулярных стратах можно получить в логарифмической шкале в терминах понятия амебы алгебраической поверхности. В случае, когда алгебраическое множество V есть гиперповерхность или кривая, ее неособая точка z является критической для Log | V в том и только том случае, когда логарифмическое отображение Гаусса в ней вещественно (см. [36] ). Таким образом, для V = ∇ pq контур амебы параметризуется сужением отображения Ψ pqM ℝℙ n - 2 на вещественное проективное подпространство. Аналогично, контур амебы для страта M pq n - 1 параметризуется сужением Ψ pq на вещественный срез L n - 3 ∩ ℝℙ n - 2 .

Рассмотрим в качестве примера приведенное дискриминантное множество ∇ 04 для уравнения степени 4 . Согласно теоремам ?? и ?? его страт M 04 3 параметризуется сужением параметризации

на комплексную прямую своих критических точек

Выбрав s 1 в качестве аффинной координаты на L 1 , сужение Ψ 04 L 1 можно представить в виде

3.6. Контур амебы страта M 04 3 для уравнения степени 4

Разные положения контура амебы страта M 04 3 для уравнения степени 4

На 3.6 изображен контур для страта M 04 3 , допускающего указанную параметризацию.

Из параметризации видно, что щупальца амебы соответствуют набору значений s 1 = -∞ , - 1 , 0 , 1/3 , 3 .

Значению s 1 = 1 соответствует нульмерный страт M 04 4 ; это критическая точка параметризации. Таким образом, контур амебы нульмерного страта M 04 4 является точкой возврата (каспидальной точкой) для контура амебы примыкающего к нему одномерного страта M 04 3 .

Чтобы проследить характер примыкания контуров амеб стратов M 04 2 = ∇ 04 и M 04 3 , требуется определенная деликатность. В аффинных координатах s 1 ,s 2 пространства ℂℙ 2 параметризация Ψ 04 для M 04 2 = ∇ 04 следующая:

Для построения контура амебы надо вычислить образ ℝ 2 ⊂ ℝℙ 2 относительно отображения Log ∘ Ψ 04 . Это отображение имеет полярные особенности на четырех прямых (пятая прямая s 3 = 0 является бесконечно удаленной относительно выбранной аффинной части):

Рис. 3.7. Особенности параметризации Ψ 04 : 4 полярных прямых, критическая прямая и гипербола самопересечений

На рис. 3.7 эти прямые изображены наряду с критической прямой L 1 (жирная прямая, переходящая при отображении Log ∘ Ψ 04 в контур амебы для M 04 3 ). Кроме того, следует учесть роль гиперболы < ( s 1 + 1)( s 1 + 2 s 2 + 3) = 2 > , изображенной пунктиром. Образ комплексной гиперболы относительно Ψ 04 есть страт M 04 2 , 2 , отвечающий за наличие двух корней кратности 2. Иными словами, этот страт состоит из всех x = ( x 1 ,x 2 ,x 3 ) , для которых выполняется равенство многочленов

с параметрами a и b . Обозначив t := a + b, зададим этот страт при помощи параметризации x 1 = ∓ 2 t, x 2 = t 2 Б 2 , x 3 = - 2 t. Множество M 04 2 , 2 составляет страт самопересечения для дискриминантного множества ∇ 04 . Сужение параметризации Ψ 04 на указанную гиперболу принимает равные значения в точках ( s 1 ,s 2 ) , ( s ′ 1 ,s ′ 2 ) , для которых s 1 ⋅ s ′ 1 = 1 .

На рис. 3.8 приводятся некоторые фрагменты примыканий контура амебы для ∇ 04 к контуру амебы для страта M 04 3 в разных ракурсах.

Они показывают, что контур амебы для страта M 04 3 является кривой возврата контура амебы для ∇ 04 . Вблизи острия контура для амебы M 04 3 (соответствующему значению s 1 = 1 в параметризации контура) примыкание изображается куском в виде сетки и скрытыми за ней двумя возвратными кусками серого цвета. Эти куски пересекаются в общем положении по кривой, которая выходит из острия и представляет часть контура амебы для страта самопересечения M 04 2 , 2 .

3.8. Фрагменты примыкания контура амебы для ∇ 04 к контуру амебы для страта M 04 3

В целом, поверхность справа составляет фигуру, известную под названием «ласточкин хвост». Она получается как часть контура амебы для ∇ 04 , для которой вещественные аффинные параметры s 1 ,s 2 пробегают подходящим образом выбранную окрестность луча L 1 ∩ < s 1 > 0 > .