Вычислительная схема решения некоторых задач из теории сопротивления материалов Текст научной статьи по специальности «Математика»
Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Чеканов Н.А., Беляева И.Н., Чеканова Н.Н.
Разработан алгоритм и составлена программа в среде MAPLE для решения обыкновенных дифференциальных уравнений IV порядка , в общем, в виде обобщенных степенных рядов . Дифференциальные уравнения могут содержать регулярные особые точки . Приведены примеры решений дифференциальных уравнений IV порядка из теории сопротивления материалов, которые показывают эффективность разработанной программы.
Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Чеканов Н.А., Беляева И.Н., Чеканова Н.Н.
The developed algorithm and program in MAPLE of the solution ordinary differential equations IV order , in general, in the form of generalized power series are developed. The differential equation could consist the singular regular points . Some examples of the solution differential equations IV order in theory of resistance of materi-als are presented, that show the efficiency of the developed program.
Текст научной работы на тему «Вычислительная схема решения некоторых задач из теории сопротивления материалов»
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ИЗ ТЕОРИИ СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
THE COMPUTATIONAL SCHEME FOR SOLUTION OF SOME PROBLEMS FROM THE THEORY OF STRENGTH OF MATERIALS
Н.А. Чеканов 1, И.Н. Беляева 1, Н.Н. Чеканова 2 N.A. Chekanov 1, I.N. Belyaeva 1, N.N. Chekanova 2
l)Белгородский национальный исследовательский университет, Россия, 308015, г.Белгород, ул. Победы, 85
Belgorod National Research University, 85 Pobedy St, Belgorod, 308015, Russia
2) Харьковский институт банковского дела Университета банковского дела НБУ, Украина, 61174, г. Харьков, прт. Победы, 55
Kharkov Institute of Banking of National University of Banking, 55 av. Pobedy, Kharkov, 61174, Ukraine
E-mail: сhekanov@bsu.edu.ru;ibelyaeva@bsu.edu.ru; chekanova76@list.ru
Аннотация. Разработан алгоритм и составлена программа в среде MAPLE для решения обыкновенных дифференциальных уравнений IV порядка, в общем, в виде обобщенных степенных рядов. Дифференциальные уравнения могут содержать регулярные особые точки. Приведены примеры решений дифференциальных уравнений IV порядка из теории сопротивления материалов, которые показывают эффективность разработанной программы.
Resume. The developed algorithm and program in MAPLE of the solution ordinary differential equations IV order , in general, in the form of generalized power series are developed. The differential equation could consist the singular regular points. Some examples of the solution differential equations IV order in theory of resistance of materials are presented, that show the efficiency of the developed program.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения IV порядка, алгоритм, математическое моделирование, обобщенно степенные ряды, регулярные особые точки
Key words: differential equations IV order, algorithm, mathematic modeling, generalized power series, singular regular points
Эффективным методом интегрирования дифференциальных уравнений является поиск решений в виде степенных рядов и последующим нахождением коэффициентов этих рядов [1]. Но на практике при конкретных расчетах приходится сталкиваться с большим объемом вычислений при нахождении неизвестных коэффициентов степенных рядов, причем сложность нахождения решений увеличивается в тех точках, в которых имеются особенности. Однако использование современных компьютеров вместе с пакетами программ для аналитических вычислений, таких как Maple, Mathematica, Reduce и другие, позволяют достаточно быстро выполнить необходимые расчеты по построению решений линейных дифференциальных уравнений в виде рядов, причем до очень больших порядков.
В задачах математической физики наиболее часто возникают линейные дифференциальные уравнения второго и четвертого порядков. Следует также отметить, что решения некоторых нели-
нейных дифференциальных уравнений могут быть выражены через линейно независимые решения соответствующих линейных дифференциальных уравнений. Например, решение нелинейного уравнения Ермакова-Милна-Пинни строится из двух независимых решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.
В работе представлена вычислительная схема решения обыкновенных линейных дифференциальных уравнений четвертого порядка в виде обобщенных степенных рядов с использованием системы компьютерной алгебры Maple. Также с помощью составленной программы были найдены линейно-независимые решения для ряда конкретных дифференциальных уравнений.
Рассмотрим дифференциальное уравнение четвертого порядка у(1Г) (х) + Рз (х) у "(х) + Р2 (х) у"(х) + Рх (X) у (X) + Р0 (х) у(х) = 0 . (1)
В случае, если коэффициенты-функции Р3 (х), Р2 (х) , Р^ (х), Ро (х) не содержат регулярных особых точек и являются голоморфными функциями в окрестности точки х = хо
!3W = 2 Pk (x - x0) > P2
P (X) = 2 P^ (X - Xo ) k , Po( X) = 2 Pk) (X - Xo )k , (2)
к=0 к=0 то линейно независимые решения у^, у2, Уз и У4 могут быть представленными виде степенных рядов: