Анализ задачи реального тройного интегратора Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Муромцев Дмитрий Юрьевич, Погонин Василий Александрович

Цель: разработка математического обеспечения энергосберегающего управления, позволяющего решать задачи синтеза в реальном времени оптимальных управляющих воздействий при управлении энергоемкими объектами на множестве состояний функционирования. Методы: на основе методов принципа максимума и синтезирующих переменных предложен подход выполнения полного анализа оптимального управления объектами, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями третьего порядка. Результаты: получены новые результаты исследований по задаче оптимального управления объектами, динамика которых описывается моделью реального тройного интегратора; минимизируется функционал - затраты энергии (или расход топлива); на управляющие воздействия наложены ограничения; концы траектории изменения вектора фазовых координат закреплены; временной интервал управления фиксирован. К этим результатам относятся анализ возможных видов функций энергосберегающего управления; предложенный вектор синтезирующих переменных , размерность которого значительно меньше размерности массива исходных данных, необходимого для численного решения задачи; условия существования решения задачи и др. При этом в процессе функционирования объекта могут изменяться его параметры, границы изменения управляющего воздействия, начальные и конечные значения компонентов вектора фазовых координат, начальный и конечный моменты временного интервала. Для сокращения данная задача названа « задачей реального тройного интегратора ». Практическая значимость: полученные результаты могут быть использованы разработчиками математического обеспечения САПР и SCADA для создания программных модулей, позволяющих автоматизированно проектировать алгоритмическое обеспечение систем энергосберегающего управления соответствующими объектами; разработчиками баз знаний экспертных систем, предназначенных для решения задач оптимального управления ; проектировщиками интеллектуальных контроллеров, которые в реальном времени синтезируют управляющие воздействия тепловыми аппаратами, машинами с электроприводом и другими энергоемкими объектами; разработчиками топологии специализированных микросхем для интеллектуальных контроллеров. Кроме того, результаты работы могут использоваться для исследования более сложных задач, в частности, применительно к гибридным и другим MIMO-объектам.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Муромцев Дмитрий Юрьевич, Погонин Василий Александрович

Real Ternary Integrator Problem Analysis

Purpose: Developing mathematical support for energy saving control, able to solve problems of real-time synthesis of optimal control over energy-intensive objects, on a number of performance conditions. Methods: With the use of maximum principle and synthesizing variables , we propose an approach to implement a comprehensive analysis of optimal control over objects whose dynamics is described by linear differential equation of the third order. Results: New results were obtained on the problem of the optimal control over objects whose dynamics is described by a real ternary integrator model. The functional (energy or fuel consumption) is minimized, the control actions are constrained, the ends of the phase coordinate change trajectory vector are fixed, the control time interval is also fixed. The obtained results include the analysis of possible types of power-saving control functions, the suggested vector of the synthesizing variables whose dimension is much less than that of the initial data array necessary for a numeral solution of the problem, the conditions of solution existence, etc. The functioning of the object can involve certain variations in its parameters, in the boundaries of the control impact changes, in the initial and final values of the phase coordinate vector components, or in the initial and final moments of the time interval. The title of the problem was shortened to “ real ternary integrator problem ”. Practical relevance: The obtained results can be used by developers of CAD/CAM and SCADA systems to create software modules for automatic design of algorithms for energy-saving control systems. It can also be used by designers of intellectual controllers able to synthesize controlling impact on thermal devices, electric engines and other energy-intensive objects, and by inventors of special circuit topology for intellectual controllers. Besides, the obtained results can be used to study more sophisticated problems like those involving hybrid and other MIMO-objects.

Текст научной работы на тему «Анализ задачи реального тройного интегратора»

АНАЛИЗ ЗАДАЧИ РЕАЛЬНОГО ТРОЙНОГО ИНТЕГРАТОРА

Д. Ю. Муромцева, доктор техн. наук, профессор В. А. Погонина, доктор техн. наук, профессор

^Тамбовский государственный технический университет, Тамбов, РФ

Цель: разработка математического обеспечения энергосберегающего управления, позволяющего решать задачи синтеза в реальном времени оптимальных управляющих воздействий при управлении энергоемкими объектами на множестве состояний функционирования. Методы: на основе методов принципа максимума и синтезирующих переменных предложен подход выполнения полного анализа оптимального управления объектами, динамика которых описывается линейными дифференциальными уравнениями третьего порядка. Результаты: получены новые результаты исследований по задаче оптимального управления объектами, динамика которых описывается моделью реального тройного интегратора; минимизируется функционал — затраты энергии (или расход топлива); на управляющие воздействия наложены ограничения; концы траектории изменения вектора фазовых координат закреплены; временной интервал управления фиксирован. К этим результатам относятся анализ возможных видов функций энергосберегающего управления; предложенный вектор синтезирующих переменных, размерность которого значительно меньше размерности массива исходных данных, необходимого для численного решения задачи; условия существования решения задачи и др. При этом в процессе функционирования объекта могут изменяться его параметры, границы изменения управляющего воздействия, начальные и конечные значения компонентов вектора фазовых координат, начальный и конечный моменты временного интервала. Для сокращения данная задача названа «задачей реального тройного интегратора». Практическая значимость: полученные результаты могут быть использованы разработчиками математического обеспечения САПР и ЭСАйА для создания программных модулей, позволяющих автоматизированно проектировать алгоритмическое обеспечение систем энергосберегающего управления соответствующими объектами; разработчиками баз знаний экспертных систем, предназначенных для решения задач оптимального управления; проектировщиками интеллектуальных контроллеров, которые в реальном времени синтезируют управляющие воздействия тепловыми аппаратами, машинами с электроприводом и другими энергоемкими объектами; разработчиками топологии специализированных микросхем для интеллектуальных контроллеров. Кроме того, результаты работы могут использоваться для исследования более сложных задач, в частности, применительно к гибридным и другим М1МО-объектам.

Ключевые слова — оптимальное управление, полный анализ оптимального управления, задача реального тройного интегратора, синтезирующие переменные.

Большинство энергоемких объектов обладают инерционными свойствами, и их динамические режимы в достаточно широком интервале изменения вектора фазовых координат с требуемой точностью описываются линейными дифференциальными уравнениями третьего порядка. В работе [1] рассмотрены аспекты полного анализа задачи оптимального управления объектами, представляемыми моделью тройного интегратора, т. е. получены условия существования решения задачи, все возможные виды функций оптимального управления, соотношения для оперативного определения вида функций и расчета ее параметров при любых значениях исходных данных. Данная модель применительно к машинам с электроприводами, тепловым аппаратам, транспортным средствам и другим динамическим объектам обеспечивает приемлемую точность лишь в узком диапазоне изменения фазовых координат. Значительно большими возможностями в отношении точности и области использования обладают модели типа реальный тройной интегратор. Полный анализ задач энергосберегающего управления применительно к такого типа объектам до настоящего времени не проводился.

В статье приводятся результаты исследований задачи реального тройного интегратора на множе-

стве состояний функционирования, выполненных с помощью принципа максимума и метода синтезирующих переменных [2, 3]. Более сложные модели динамики во всем диапазоне изменения фазовых координат объекта могут быть представлены дифференциальными уравнениями с разрывной правой частью, при этом каждая часть описывается тройным или реальным тройным интегратором. Задача энергосберегающего управления в этом случае решается комбинированным методом [4, 5].

Постановка задачи тройного интегратора

В простейшем случае задача реального тройного интегратора (ЗРТИ) формулируется как задача оптимального управления (ОУ) с закрепленными концами вектора фазовых координат z = (г1, г2, 23)Т, фиксированным временным интервалом и ограничением на скалярное управление и в каждый момент времени ^ т. е.

/. \_ 0_ 0 0 0 г(*0 ) — г — 121, 22, 23

г(*к) — гк — ((, 2|, 2|) ; (2)

V* , *к ]: и^)е[ив, ив ]; (3)

Здесь A, B — матрицы параметров модели объекта; íк — начало и конец временного интервала управления; z0, zк — начальное и конечное значения вектора z; ин, ив — нижняя и верхняя границы изменения и; f0: Я3 х Дх Я ^ R.

Для решения задачи (1)-(4) при конкретном виде минимизируемого функционала (4), т. е. определения вида и параметров функции ОУ, задается массив исходных данных

к — (а3' Ъ, ин' ив' 21 ' 22 ' 23 , 21 ' 22 ' 23 ' *к ]• (5)

При использовании программной стратегии реализации ОУ в результате решения задачи определяется оптимальная программа

в случае позиционной зирующей функции

вид и параметры синте-

Находятся также оптимальные траектория г*(-) и значение функционала Для энергоемких объектов обычно используются функционалы, минимизирующие затраты энергии, расход топлива и время (задача быстродействия), т. е.

в последнем случае время ^ не фиксируется.

Как и в работе [1], под анализом ЗРТИ для определенного вида функционала (8) будем понимать комплекс исследований в целях получения условий существования решения задачи ОУ, возможных видов функций ОУ, соотношений для определения их видов, алгоритмов для оперативного расчета параметров функций ОУ или синтезирующих функций при любых значениях массива реквизитов (5).

Результаты полного анализа ЗРТИ позволяют создавать фреймы базы знаний экспертной системы, предназначенной для автоматизированного проектирования алгоритмического обеспечения автоматических систем энергосберегающего управления, а также разрабатывать математическое обеспечение бортовых контроллеров [6].

Следует заметить, что получаемые результаты могут использоваться при введении в модель (1)

временного запаздывания по каналу управления, дополнении ограничений (3) интегральным ограничением на лимит энергии или запас топлива, введении ограничений на траектории фазовых координат. Кроме того, результаты можно использовать для гибридных объектов, которые применяют различные виды энергоносителей.

Синтезирующие переменные и условия существования решения задачи

В настоящем разделе используются определения, введенные в работах [1, 3].

Утверждение 1. Если решение ЗРТИ без учета ограничений на управление (3) существует, то результаты полного анализа задачи (1)-(4) могут быть рассчитаны и визуально представлены по значениям массива синтезирующих переменных Ь = (1^, Ь2, Ь3; а3), компоненты которого вычисляются по исходным данным (5) по формулам

Ь1— лЛ.г. ( -а3 Д22- А*Щ; (9) 8

Д22 -а3Д21 + aз22Д*-20Д*-1 Д*2Ъй

£-230еа3Д* -Ъи(еа3Д*-1) а3 у ;

Д* — *К - *0, Ди — ив - ин, и — 1 (ин +ив ) , Д2; — 2к - 20, I — 1, 2, 3,

при этом если массив R однозначно определяет вид функции ОУ и ее параметры, то и массив L обладает этим свойством.

Для доказательства в исходной задаче (1)-(4) нормируются интервалы р0, ¿к] и [ин, ив], т. е. время t заменяется на нормированное Т е [0; 2], а управление и(Ь) — на и(Т) е [-1; 1]. В результате перехода от исходной задачи к нормируемой (базовой) с временем Т и управлением и устанавливаются соотношения между компонентами Ь и и(Т)

J (2 - Т)и (Т )ат — Ц2;

J еа3(2-Т)и (т )ат — Ц3.

Равенства (13)-(15) используются для определения вида и расчета параметров функции и*(Т). Пересчет и*(Г) в натуральное управление и*(Г) производится по формулам

и* = и +1 Аии*; г =г0 +1АгТ. (16)

Таким образом, введение синтезирующих переменных позволяет уменьшить размерность массива, определяющего вид и параметры функции и*(Г), по сравнению с размерностью массива R почти в 3 раза. Это существенно упрощает расчетные соотношения и облегчает визуализацию результатов анализа.

Утверждение 2. Если в пространстве синтезирующих переменных (9)-(12) для заданного массива исходных данных (5) выполняются условия