. Механика (установление соответствия между графиками,физическими величинами и формулами)
Механика (установление соответствия между графиками,физическими величинами и формулами)

Механика (установление соответствия между графиками,физическими величинами и формулами)

Механика — наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между ними.

Под механикой обычно понимают так называемую классическую механику, в основе которой лежат законы механики Ньютона. Механика Ньютона изучает движение любых материальных тел (кроме элементарных частиц) при условии, что эти тела движутся со скоростями, намного меньшими скорости света (движение тел со скоростями порядка скорости света рассматривают в теории относительности, а внутриатомные явления и движение элементарных частиц — в квантовой механике).

В механике рассматривают взаимодействия тел, результатом которых являются изменения скоростей точек этих тел или их деформации. Например, притяжение тел по закону всемирного тяготения, взаимное давление соприкасающихся тел, воздействие частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся или покоящиеся в них тела и т. и.

При изучении движения материальных тел оперируют рядом понятий, которые отражают те или иные свойства реальных тел, например:

  • материальная точка — объект пренебрежимо малых размеров, имеющий массу. Это понятие можно использовать, когда тело движется поступательно или когда в изучаемом движении можно пренебречь вращением тела вокруг его центра масс;
  • абсолютно твердое тело — тело, расстояние между двумя любыми точками которого не меняется. Это понятие применимо, когда можно пренебречь деформацией тела;
  • сплошная изменяемая среда — это понятие применимо, когда можно пренебречь молекулярной структурой тела. Его используют при изучении движения жидкостей, газов, деформируемых твердых тел.

Механика состоит из следующих разделов:

  1. механика материальной точки;
  2. механика абсолютно твердого тела;
  3. механика сплошной среды, в которую, в свою очередь, входят:
  • теория упругости;
  • теория пластичности;
  • гидродинамика;
  • аэродинамика;
  • газовая динамика.

Каждый из перечисленных разделов состоит из статики, динамики и кинематики.

Статика — это учение о равновесии тел под действием сил (греч. statos— стоящий).

Динамика — это учение о движении тел под действием сил.

Кинематика — это учение о геометрических свойствах движения тел.

Кроме перечисленных выше разделов, механики имеют самостоятельное значение теория колебаний, теория устойчивости движения, механика тел переменной массы, теория автоматического регулирования, теория удара и др. Механика тесно связана с другими разделами физики. Большое значение механика имеет для многих разделов астрономии, особенно для небесной механики (движение планет и звезд и т. д.).

Для техники механика имеет особое значение. Например, гидродинамика, аэродинамика, динамика машин и механизмов, теория движения наземных, воздушных и транспортных средств используют уравнения и методы теоретической механики.

Кинематика

Кинематика (греч. kinematos — движение) — раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их массы и действующих на них сил.

Другими словами, в кинематике дается описание того, как движутся тела (по каким траекториям, с какими скоростями и ускорениями) без выяснения причин, почему они так движутся.

Кинематика как раздел механики существует для изучения движения:

  • точки и твердого тела, не поддающегося деформации;
  • твердого тела, поддающегося упругой или пластической деформации;
  • жидкости;
  • газа.

Основные задачи кинематики точки и твердого тела:

  1. Описание движений, совершаемых точками по отношению к выбранной системе отсчета, с помощью уравнений, таблиц или графиков. Описать движение точки — значит определить положение точки в любой момент времени (или определить так называемые законы движения).
  2. Определение кинематических характеристик движения. Кинематическими характеристиками движения точки являются ее скорость и ускорение.
  3. Изучение сложных (составных) движений и определение зависимости между характеристиками этих движений. Под сложным движением понимают движение тела относительно системы координат, которая сама движется относительно другой, неподвижной системы координат.
Механическое движение. Относительность механического движения. Система отсчета

Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного расположения тел или их частей в пространстве: например, движение небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения, движение летательных аппаратов и транспортных средств, машин и механизмов, деформации элементов конструкций и сооружений, движение жидкостей и газов и др.

Относительность механического движения

С относительностью механического движения мы знакомы с детства. Так, сидя в поезде и наблюдая за трогающимся с места поездом, стоявшим до этого на параллельном пути, мы часто не можем определить, какой из поездов на самом деле начал двигаться. И здесь сразу следует уточнить: двигаться относительно чего? Относительно Земли, конечно. Потому что относительно соседнего поезда мы начали двигаться независимо от того, какой из поездов начал свое движение относительно Земли.

Относительность механического движения заключается в относительности скоростей перемещения тел: скорости тел относительно разных систем отсчета будут различны (скорость человека, перемещающегося в поезде, пароходе, самолете, будет отличаться как по величине, так и по направлению, в зависимости от того, в какой системе отсчета эти скорости определяются: в системе отсчета, связанной с движущимся транспортным средством, или с неподвижной Землей).

Различными будут и траектории движения тела в разных системах отсчета. Так, например, вертикально падающие на землю капли дождя оставят след в виде косых струй на окне вагона мчащегося поезда. Точно также любая точка на вращающемся пропеллере летящего самолета или спускающегося на землю вертолета описывает окружность относительно самолета и гораздо более сложную кривую — винтовую линию относительно Земли. Таким образом, при механическом движении относительной является также и траектория движения.

Путь, пройденный телом, также зависит от системы отсчета. Возвращаясь все к тому же пассажиру, сидящему в поезде, мы понимаем, что путь, проделанный им относительно поезда за время поездки, равен нулю (если он не передвигался по вагону) или, во всяком случае, намного меньше того пути, который он преодолел вместе с поездом относительно Земли. Таким образом, при механическом движении относительным является также и путь.

Осознание относительности механического движения (т. е. того, что движение тела можно рассматривать в разных системах отсчета) привело к переходу от геоцентрической системы мира Птолемея к гелиоцентрической системе Коперника. Птолемей, следуя наблюдаемому издревле движению Солнца и звезд на небосклоне, в центре Вселенной расположил неподвижную Землю с вращающимися вокруг нее остальными небесными телами. Коперник же считал, что Земля и другие планеты вращаются вокруг Солнца и одновременно вокруг своих осей.

Таким образом, изменение системы отсчета (Земля — в геоцентрической системе мира и Солнце — в гелиоцентрической) привело к гораздо более прогрессивной гелиоцентрической системе, позволяющей решить многие научные и прикладные задачи астрономии и изменить взгляды человечества на Вселенную.

Система координат $X, У, Z$, тело отсчета, с которым она связана, и прибор для измерения времени (часы) образуют систему отсчета, относительно которой рассматривается движение тела.

Телом отсчета называется тело, относительно которого рассматривается изменение положения других тел в пространстве.

Систему отсчета можно выбрать произвольно. При кинематических исследованиях все системы отсчета равноправны. В задачах динамики также можно использовать любые произвольно движущиеся системы отсчета, но удобнее всего инерциальные системы отсчета, так как в них характеристики движения имеют более простой вид.

Материальная точка

Материальная точка — объект пренебрежимо малых размеров, имеющий массу.

Понятие «материальная точка» вводится для описания (с помощью математических формул) механического движения тел. Делается это потому, что описывать движение точки проще, чем реального тела, частицы которого к тому же могут двигаться с разными скоростями (например, при вращении тела или деформациях).

Если реальное тело заменяют материальной точкой, то этой точке приписывают массу этого тела, но пренебрегают его размерами, а заодно пренебрегают различием характеристик движения его точек (скоростей, ускорений и т. д.), если таковое имеется. В каких случаях это можно делать?

Практически любое тело можно рассматривать как материальную точку, если расстояния, проходимые точками тела, очень велики по сравнению с его размерами.

Например, материальными точками считают Землю и другие планеты при изучении их движения вокруг Солнца. В данном случае различия в движении различных точек любой планеты, вызванные ее суточным вращением, не влияют на величины, описывающие годовое движение.

Следовательно, если в изучаемом движении тела можно пренебречь его вращением вокруг оси, такое тело можно представить как материальную точку.

Однако при решении задач, связанных с суточным вращением планет (например, при определении восхода Солнца в разных местах поверхности земного шара), считать планету материальной точкой бессмысленно, так как результат задачи зависит от размеров этой планеты и скорости движения точек ее поверхности.

Материальной точкой правомерно считать самолет, если требуется, например, определить среднюю скорость его движения на пути из Москвы в Новосибирск. Но при вычислении силы сопротивления воздуха, действующей на летящий самолет, считать его материальной точкой нельзя, поскольку сила сопротивления зависит от размеров и формы самолета.

Если тело движется поступательно, даже если его размеры сопоставимы с расстояниями, которые оно проходит, это тело можно рассматривать как материальную точку (поскольку все точки тела движутся одинаково).

В заключение можно сказать: тело, размерами которого в условиях рассматриваемой задачи можно пренебречь, можно считать материальной точкой.

Траектория

Траектория — это линия (или, как принято говорить, кривая), которую описывает тело при движении относительно выбранного тела отсчета.

Говорить о траектории имеет смысл лишь в том случае, когда тело можно представить в виде материальной точки.

Траектории могут иметь разную форму. О форме траектории иногда удается судить по видимому следу, который оставляет движущееся тело, например, летящий самолет или проносящийся в ночном небе метеор.

Форма траектории зависит от выбора тела отсчета. Например, относительно Земли траектория движения Луны представляет собой окружность, относительно Солнца — линию более сложной формы.

При изучении механического движения в качестве тела отсчета, как правило, рассматривается Земля.

Способы задания положения точки и описание ее движения

Положение точки в пространстве задается двумя способами: 1) с помощью координат; 2) с помощью радиус-вектора.

Положение точки с помощью координат задается тремя проекциями точки $х, у, z$ на оси декартовой системы координат $ОХ, ОУ, OZ$, связанные с телом отсчета. Для этого из точки А необходимо опустить перпендикуляры на плоскости $YZ$ (координата $х$), $ХZ$ (координата $у$), $ХУ$ (координата $z$) соответственно. Записывается это так: $А(х, у, z)$. Для конкретного случая, $(х=6, у=10.2, z= 4.5$), точка $А$ обозначается $А(6; 10; 4.5)$.

Наоборот, если заданы конкретные значения координат точки в данной системе координат, то для изображения самой точки необходимо отложить значения координат на соответствующие оси ($х$ на ось $ОХ$ и т. д.) и на этих трех взаимно перпендикулярных отрезках построить параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат $О$ и лежащая на диагонали параллелепипеда, и будет искомой точкой $А$.

Если точка движется в пределах некоторой плоскости, то через выбранные на теле отсчета точки достаточно провести две координатные оси: $ОХ$ и $ОУ$. Тогда положение точки на плоскости определяют двумя координатами $х$ и $у$.

Если точка движется вдоль прямой, достаточно задать одну координатную ось ОХ и направить ее вдоль линии движения.

Задание положения точки $А$ с помощью радиус-вектора осуществляется соединением точки $А$ с началом координат $О$. Направленный отрезок $ОА = r↖$ называется радиус-вектором.

Радиус-вектор — это вектор, соединяющий начало отсчета с положением точки в произвольный момент времени.

Точка задана радиус-вектором, если известны его длина (модуль) и направление в пространстве, т. е. значения его проекций $r_x, r_у, r_z$ на оси координат $ОХ, ОY, OZ$, либо углы между радиус-вектором и осями координат. Для случая движения на плоскости имеем:

Здесь $r=|r↖|$ — модуль радиус-вектора $r↖, r_x$ и $r_y$ — его проекции на оси координат, все три величины — скаляры; хжу — координаты точки А.

Последние уравнения демонстрируют связь между координатным и векторным способами задания положения точки.

Вектор $r↖$ можно также разложить на составляющие по осям $Х$ и $Y$, т. е. представить в виде суммы двух векторов:

Таким образом, положение точки в пространстве задается либо ее координатами, либо радиус-вектором.

Способы описания движения точки

В соответствии со способами задания координат движение точки можно описать: 1) координатным способом; 2) векторным способом.

При координатном способе описания (или задания) движения изменение координат точки со временем записывается в виде функций всех трех ее координат от времени:

Уравнения называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме. Зная кинематические уравнения движения и начальные условия (т. е. положение точки в начальный момент времени), можно определить положение точки в любой момент времени.

При векторном способе описания движения точки изменение ее положения со временем задается зависимостью радиус-вектора от времени:

Уравнение представляет собой уравнение движения точки, записанное в векторной форме. Если оно известно, то для любого момента времени можно расчитать радиус-вектор точки, т. е. определить ее положение (как и в случае координатного способа). Таким образом, задание трех скалярных уравнений равносильно заданию одного векторного уравнения.

Для каждого случая движения вид уравнений будет вполне определенным. Если траекторией движения точки является прямая линия, движение называется прямолинейным, а если кривая — криволинейным.

Перемещение и путь

Перемещение в механике — это вектор, соединяющий положения движущейся точки в начале и в конце некоторого промежутка времени.

Понятие вектора перемещения вводится для решения задачи кинематики — определить положение тела (точки) в про стране тве в данный момент времени, если известно его начальное положение.

На рис. вектор $↖$ соединяет два положения движущейся точки — $М_1$ и $М_2$ в моменты времени $t_1$ и $t_2$ соответственно и, согласно определению, является вектором перемещения. Если точка $М_1$ задана радиус-вектором $r↖_1$, а точка $М_2$ — радиус-вектором $r↖_2$, то, как видно из рисунка, вектор перемещения равен разности этих двух векторов, т. е. изменению радиус-вектора за время $∆t=t_2-t_1$:

Сложение перемещений (например, на двух соседних участках траектории) $∆r↖_1$ и $∆r↖_2$ осуществляется по правилу сложения векторов:

Путь — это длина участка траектории, пройденного материальной точкой за данный промежуток времени. Модуль вектора перемещения в общем случае не равен длине пути, пройденного точкой за время $∆t$ (траектория может быть криволинейной, и, кроме того, точка может менять направление движения).

Модуль вектора перемещения равен пути только при прямолинейном движении в одном направлении. Если направление прямолинейного движения меняется, модуль вектора перемещения меньше пути.

При криволинейном движении модуль вектора перемещения также меньше пути, т. к. хорда всегда меньше длины дуги, которую она стягивает.

Скорость материальной точки

Скорость характеризует быстроту, с которой происходят любые изменения в окружающем нас мире (движение материи в пространстве и времени). Движение пешехода по тротуару, полет птицы, распространение звука, радиоволн или света в воздухе, вытекание воды из трубы, движение облаков, испарение воды, нагрев утюга — все эти явления характеризуются определенной скоростью.

При механическом движении тел скорость характеризует не только быстроту, но и направление движения, т. е. является векторной величиной.

Скоростью $υ↖$ точки называется предел отношения перемещения $∆r↖$ к промежутку времени $∆t$, в течение которого это перемещение произошло, при стремлении $∆t$ к нулю (т. е. производной $∆r↖$ по $t$):

Составляющие вектора скорости по осям $X, Y, Z$ определяются аналогично:

Определенное таким образом понятие скорости называют также мгновенной скоростью. Это определение скорости справедливо для любых видов движения — от криволинейного неравномерного до прямолинейного равномерного. Когда говорят о скорости при неравномерном движении, под ней понимают именно мгновенную скорость. Из этого определения непосредственно вытекает векторный характер скорости, поскольку перемещение — векторная величина. Вектор мгновенной скорости $υ↖$ всегда направлен по касательной к траектории движения. Он указывает направление, по которому происходило бы движение тела, если бы с момента времени $t$ на него прекратилось действие любых других тел.

Средняя скорость

Средняя скорость точки вводится для характеристики неравномерного движения (т.е. движения с переменной скоростью) и определяется двояко.

1. Средняя скорость точки $υ_$ равна отношению всего пройденного телом пути $∆s$ ко всему времени движения $∆t$:

При таком определении средняя скорость — скаляр, т. к. пройденный путь (расстояние) и время — величины скалярные.

Такой способ определения дает представление о средней скорости движения на участке траектории (средней путевой скорости).

2. Средняя скорость точки равна отношению перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло:

Средняя скорость перемещения — величина векторная.

Для неравномерного криволинейного движения такое определение средней скорости не всегда позволяет определить даже приблизительно реальные скорости на пути движения точки. Например, если точка двигалась по замкнутой траектории в течение некоторого времени, то перемещение ее равно нулю (но скорость явно отличалась от нуля). В этом случае лучше пользоваться первым определением средней скорости.

В любом случае следует различать эти два определения средней скорости и знать, о какой из них идет речь.

Закон сложения скоростей

Закон сложения скоростей устанавливает связь между значениями скорости материальной точки относительно различных систем отсчета, движущихся друг относительно друга. В нерелятивистской (классической) физике, когда рассматриваемые скорости малы по сравнению со скоростью света, справедлив закон сложения скоростей Галилея, который выражается формулой:

где $υ↖_2$ и $υ↖_1$ — скорости тела (точки) относительно двух инерциальных систем отсчета — неподвижной системы отсчета $K_2$ и системы отсчета $K_1$ движущейся со скоростью $υ↖$ относительно $K_2$.

Формула может быть получена путем сложения векторов перемещений.

Для наглядности рассмотрим движение лодки со скоростью $υ↖_1$ относительно реки (система отсчета $K_1$), воды которой движутся со скоростью $υ↖$ относительно берега (система отсчета $K_2$).

Векторы перемещений лодки относительно воды $∆r↖_1$, реки относительно берега $∆r↖$ и суммарный вектор перемещения лодки относительно берега $∆r↖_2$ изображены на рис..

Поделив обе части уравнения на интервал времени $∆t$, получим:

В проекциях вектора скорости на оси координат уравнение имеет вид:

Проекции скоростей складываются алгебраически.

Относительная скорость

Из закона сложения скоростей следует, что если два тела движутся в одной и той же системе отсчета со скоростями $υ↖_1$ и $υ↖_2$, то скорость первого тела относительно второго $υ↖_$ равна разности скоростей этих тел:

Так, при движении тел в одном направлении (обгон) модуль относительной скорости равен разности скоростей, а при встречном движении — сумме скоростей.

Ускорение материальной точки

Ускорение — величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Как правило, движение является неравномерным, т. е. происходит с переменной скоростью. На одних участках траектории тела могут иметь большую скорость, на других — меньшую. Например, поезд, отходящий от станции, со временем двигается все быстрее и быстрее. Подъезжая к станции, он, наоборот, замедляет свое движение.

Ускорение (или мгновенное ускорение) — векторная физическая величина, равная пределу отношения изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло, при стремлении $∆t$ к нулю, (т. е. производной $υ↖$ по $t$):

Составляющие $a↖ (а_х, а_у, а_z)$ равны соответственно:

Ускорение, как и изменение скорости, направлено в сторону вогнутости траектории и может быть разложено на две составляющие — тангенциальную — по касательной к траектории движения — и нормальную — перпендикулярно к траектории.

В соответствии с этим проекцию ускорения $а_х$ на касательную к траектории называют касательным, или тангенциальным ускорением, проекцию $a_n$ на нормаль — нормальным, или центростремительным ускорением.

Касательное ускорение определяет величину изменения численного значения скорости:

Нормальное, или центростремительное ускорение характеризует изменение направления скорости и определяется по формуле:

где R — радиус кривизны траектории в соответствующей ее точке.

Модуль ускорения определяется по формуле:

При прямолинейном движении полное ускорение $а$ равно тангенциальному $a=a_t$, т. к. центростремительное $a_n=0$.

Единицей ускорения в СИ является такое ускорение, при котором за каждую секунду скорость тела изменяется на 1 м/с. Эту единицу обозначают 1 м/с 2 и называют «метр на секунду в квадрате».

Равномерное прямолинейное движение

Движение точки называется равномерным, если за любые равные промежутки времени она проходит равные пути.

Например, если автомобиль за каждую четверть часа (15 мин) проходит 20 км, за каждые полчаса (30 мин) - 40 км, за каждый час (60 мин) - 80 км и т. д., то такое движение считается равномерным. При равномерном движении численная величина (модуль) скорости точки $υ$ - величина постоянная:

Равномерное движение может происходить как по криволинейной, так и по прямолинейной траектории.

Закон равномерного движения точки описывается уравнением:

где $s$ - расстояние, измеренное вдоль дуги траектории, от некоторой точки на траектории, принятой за начало отсчета; $t$ - время точки в пути; $s_0$ - значение $s$ в начальный момент времени $t=0$.

Путь, пройденный точкой за время $t$, определяется слагаемым $υt$.

Равномерное прямолинейное движение - это движение, при котором тело перемещается с постоянной по модулю и направлению скоростью:

Скорость равномерного прямолинейного движения — величина постоянная и может быть определена как отношение перемещения точки к промежутку времени, в течение которого это перемещение произошло:

Модуль этой скорости

по смыслу есть расстояние $s=|∆r↖|$, пройденное точкой за время $∆t$.

Скорость тела при равномерном прямолинейном движении — это величина, равная отношению пути $s$ ко времени, за которое этот путь пройден:

Перемещение при прямолинейном равномерном движении (по оси X) можно рассчитать по формуле:

где $υ_x$ — проекция скорости на ось X. Отсюда закон прямолинейного равномерного движения имеет вид:

Если в начальный момент времени $x_0=0$, то

График зависимости скорости от времени — прямая, параллельная оси абсцисс, а пройденный путь — это площадь под этой прямой.

График зависимости пути от времени — прямая линия, угол наклона которой к оси времени $Ot$ тем больше, чем больше скорость равномерного движения. Тангенс этого угла равен скорости.

Равноускоренное прямолинейное движение

Равноускоренным называется движение с постоянным ускорением ($a↖=const$) при $a↖↑↑υ↖$. Когда вектор ускорения направлен против вектора скорости $a↖↑↓υ↖$, движение называется равнозамедленным.

Поскольку ускорение постоянно, оно равно изменению скорости за любой конечный интервал времени:

При прямолинейном движении векторы $υ↖$ и $↖$, а следовательно, и вектор а направлены вдоль одной прямой, которая является траекторией движения. Вдоль этой же прямой удобно направить координатную ось X.

Тогда из последнего уравнения следует:

где $υ_$ — скорость в начальный момент времени, принятый за нуль; $υ_x$ — текущее значение скорости (в момент времени $t$). Формула для определения ускорения из состояния покоя (равноускоренное движение, начальная скорость равна нулю: $υ_=0$) имеет вид:

Если же нулю равна не начальная, а конечная скорость ($υ_x=0$, торможение при равнозамедленном движении), то формула ускорения принимает вид:

Из формулы находим выражение для скорости при $υ_≠0$

Графики скорости при равноускоренном движении имеют вид прямых линий, наклон которых показывает, как быстро меняется скорость с течением времени. На рис. приведены графики для модуля скорости с ненулевой начальной скоростью для равноускоренного (II) и равнозамедленного (I) движений.

Путь, пройденный точкой за некоторое время $t$ (в данном случае совпадающий с перемещением $∆x↖$ за то же время), легко определяется из рис.. Он равен площади трапеции, образованной графиком $υ(t)$, осями координат и прямой, восстановленной из заданной точки $t$ параллельно оси ординат. Аналитически эта площадь определяется, как известно, интегрированием функции $υ(t)$:

Отсюда получаем закон прямолинейного равноускоренного движения:

Из этого уравнения при известных начальных условиях: координате тела в момент начала движения $х_0$, начальной скорости $υ_$, а также ускорению $а_х$ можно определить координату тела $х$ в любой момент времени $t$. В векторной форме:

График зависимости координаты от времени прямолинейного равноускоренного движения представлен на рис.

Решая систему уравнений для двух точек траектории, соответствующих моментам времени $t_1$ и $t_2$, получим выражение, связывающее скорости тела в этих точках и ускорение с перемещением на участке $1→2$:

Эта формула часто бывает полезной при решении различных практических задач.

Свободное падение. Ускорение свободного падения Свободное падение

Свободным падением называется движение тела, обусловленное притяжением Земли, при отсутствии начальной скорости и сопротивления среды.

Свободно падающее тело движется поступательно, прямолинейно и равноускоренно. Ускорение, с которым движется тело, называется ускорением свободного падения и обозначается буквой $g$. Формулы, описывающие движение свободно падающего тела, не содержат коэффициентов, зависящих от его формы и массы.

Другими словами, тела разной массы, которые мы уронили с одной высоты, достигнут поверхности земли за одно и то же время. Кажущееся несовпадение последнего утверждения с нашим каждодневным опытом (например, все знают, что пушинка будет падать гораздо дольше, чем стальной шарик) связано с сопротивлением воздуха, т. е. с дополнительной силой, направленной вверх, следовательно, такое падение не является свободным. В этом можно убедиться на следующем опыте, впервые проведенном Ньютоном. Если взять пробирку длиной $1 м$ и опустить в нее одновременно свинцовый шарик, птичье перо и пробку, то все три предмета упадут на дно трубки в разное время: сначала шарик, затем пробка, последним — перо. Если теперь из пробирки откачать воздух и перевернуть ее вверх дном, можно увидеть, что все три предмета достигнут дна одновременно.

Впервые независимость ускорения свободного падения от массы тела опытным путем установил Галилей в конце XVI в. Для этого он одновременно ронял шары одинакового размера, но разные по весу (чугунный и деревянный), с Пизанской башни. Оба шара достигали земли практически одновременно.

Свободное падение тел является примером прямолинейного равноускоренного движения.

Для определения высоты тела над землей к при свободном падении можно воспользоваться уравнением при следующих начальных условиях: $h_0=0, υ_0=0, a=g$, что означает следующее: ось $h$ направлена вниз, начало ее помещено в точку, в которой тело выронили:

График зависимости высоты от времени является параболой. Из формулы следует, что скорость связана с высотой соотношением:

Формулы справедливы для любого прямолинейного движения с постоянным ускорением и нулевой начальной скоростью, а не только для свободного падения.

Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Тело, брошенное под углом а к горизонту с начальной скоростью $↖$, будет двигаться по криволинейной траектории, в любой точке которой вектор скорости может быть разложен на две составляющие — горизонтальную и вертикальную.

Проекции этих векторов на оси координат, начало которых выбрано в точке бросания, равны:

При этом горизонтальная составляющая скорости не будет меняться с течением времени, т. к. ускорение свободного падения не имеет горизонтальной составляющей, а направлено вертикально вниз. Вертикальная составляющая скорости будет меняться по закону равнопеременного движения с ускорением $a=g:υ_x(t)=υ_cosα,υ_h(t)=υ_sinα-gt.$

Изменение координат тела согласно уравнению имеет вид:

Для случая, когда точка бросания не совпадает с началом координат ($x_0≈0, h_0≈0$), получим:

В уравнении учтено, что ускорение силы тяжести направлено вниз (знак «—» перед вторым членом). Последняя пара уравнений позволяет найти уравнение траектории движения точки, которое представляет собой зависимость одной координаты от другой. Для этого из уравнений исключим время и после простых преобразований получим:

Если ввести обозначения $tgα=c$ и $/=b,$ последнее уравнение примет вид:

что является уравнением параболы с осью, параллельной вертикальной оси.

Таким образом, траектория тела, брошенного под углом к горизонту, представляет собой параболу. В вершине этой параболы вертикальная составляющая скорости равна нулю. В точке падения скорость тела равна по абсолютной величине скорости тела в точке бросания, а направление ее составляет тот же угол, что и в точке бросания (взятый с противоположным знаком). Это следует из симметрии параболы и имеет место в отсутствие сопротивления воздуха.

Траектория тела, брошенного горизонтально, также представляет собой параболу: тело будет двигаться по одной из ветвей параболы с вершиной в точке бросания.

Равномерное движение точки по окружности

Наряду с равномерным прямолинейным движением очень часто приходится встречаться с равномерным движением по окружности. Такое движение могут совершать точки вращающихся колес, валов и роторов турбин, искусственные спутники, обращающиеся по круговым орбитам, и т. д. При равномерном движении по окружности численное значение скорости остается постоянным. Однако направление скорости при таком движении непрерывно изменяется.

В каждой точке круговой траектории скорость точки направлена по касательной к траектории в этой точке. В этом нетрудно убедиться, коснувшись вращающегося точильного камня, имеющего форму диска, стальным резцом: раскаленные частицы камня, имеющие в момент отрыва от него определенную скорость, будут отлетать от диска по касательной к нему. Эта скорость называется линейной скоростью вращения.

Равномерное движение по окружности характеризуют периодом и частотой обращения.

Период обращения — это время, за которое совершается один оборот.

Известно, что при равномерном движении время определяется делением пройденного пути, т. е. длины окружности — $l_$, на скорость движения. Таким образом,

Величина, обратная периоду, называется частотой обращения и обозначается буквой $v$:

Угловой скоростью точки $ω$ называется отношение угла поворота к интервалу времени, в течение которого этот поворот совершен:

Угловая скорость выражается в радианах в секунду (рад/с).

Угловая скорость связана с периодом $Т$ и частотой $v$ вращения следующим соотношением:

Центростремительное ускорение

Из-за непрерывного изменения направления скорости тело, движущееся по окружности, обладает ускорением. Это ускорение характеризует не быстроту изменения численного значения скорости (которое в данном случае не меняется), а быстроту изменения ее направления.

При равномерном движении по окружности ускорение тела все время направлено к ее центру и называется центростремительным ускорением. Чтобы найти его значение, рассмотрим отношение изменения вектора скорости $∆υ$ к малому интервалу времени $∆t$, за который это изменение произошло.

В силу малости угла $φ$ имеем:

Так как угол $φ$ между векторами скорости в точках $А$ и $В$ равен углу $АОВ$ между радиусами, который, в свою очередь, равен отношению длины дуги $АВ$ к радиусу $R$, получим:

Из уравнений получим выражение для модуля вектора ускорения:

Из формул следует, что $a=/$ и $a=4π^2Rv^2$

Поступательное и вращательное движение твердого тела

Поступательное движение — это движение твердого тела, при котором прямая, соединяющая две любые точки тела, перемещается параллельно своему начальному направлению.

При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю направления скорости и ускорения.

Поступательное движение может быть как криволинейным, так и прямолинейным. Например, поступательно движется кабина колеса обозрения. Человек, стоящий на ступеньке движущегося эскалатора, также движется поступательно. Для описания его движения (т. е. определения изменения скорости со временем, пути) достаточно рассмотреть движение только одной его точки.

Другими словами, изучение поступательного движения твердого тела сводится к задаче кинематики точки.

Вращательное движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси — один из самых простых (после поступательного) видов движения. Оно характеризуется углом поворота точек тела вокруг оси $O_1O_2$, жестко связанной с телом.

Угол поворота $φ$ отсчитывается между двумя лучами, выходящими из одной точки на оси $O_1O_2$ и перпендикулярными к ней: один из лучей (ОХ) неподвижен, другой (ОА) жестко связан с телом.

При вращении тела вокруг неподвижной оси все его точки поворачиваются на одинаковый угол, но описывают окружности разных радиусов в зависимости от степени удаленности точки тела от оси вращения.

Равномерное вращение твердого тела или точки его окружности характеризуется постоянной угловой скоростью.

При равномерном вращении, если известна угловая скорость в начальный момент времени $t_0=0$, можно определить угол поворота тела за время $t$ и тем самым положение точек тела:

При ненулевом значении угла поворота $φ_0$ в начальный момент времени ($t=0$) закон вращательного движения описывается уравнением:

Связь между линейной $υ$ и угловой $ω$ скоростями и центростремительным ускорением $а$ определяется соотношениями:

Динамика

Динамика (от греч. dynamikos — сила) — раздел механики, посвященный изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил.

Движения любых материальных тел (кроме микрочастиц), происходящие со скоростями, не близкими к скорости света, изучаются в так называемой классической динамике. Движения тел со скоростями порядка скорости света рассматривают в теории относительности, а движение микрочастиц — в квантовой механике.

Обычно классическую динамику разделяют на динамику материальной точки и динамику системы материальных точек. Последняя содержит такие разделы:

  • динамика абсолютно твердого тела;
  • динамика упруго (или пластически) деформируемого тела;
  • динамика жидкости и газа.

Классическая динамика базируется на трех основных законах, называемых законами Ньютона. К основным законам относят еще закон независимости действия сил, согласно которому при одновременном действии на материальную точку нескольких сил каждая из них сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, если бы действовала одна.

Из названных законов следствиями являются все уравнения и теоремы динамики. В динамике рассматриваются решения двух типов задач:

  1. зная закон движения данного тела (т. е. уравнения, определяющие положение тела в пространстве в любой момент времени), найти силы, под действием которых это движение происходит;
  2. зная силы, действующие на данное тело или систему тел, определить закон движения этого тела или системы.

Второй тип задач является в динамике основным.

Инерциальные системы отсчета. Первый закон Ньютона. Принцип относительности Галилея

Инерциальная система отсчета — это система отсчета, в которой справедлив закон инерции: материальная точка, когда на нее не действуют никакие силы (или действуют силы, взаимно уравновешенные), находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения.

Закон этот был открыт Галилеем в 1632 г. и сформулирован Ньютоном в 1687 г. как первый закон механики.

Любая система отсчета, движущаяся по отношению к инерциальной системе отсчета поступательно, равномерно и прямолинейно, также является инерциальной системой отсчета, т. е. в ней выполняется первый закон Ньютона. Следовательно, инерциальных систем отсчета может быть сколь угодно много. Система отсчета, движущаяся с ускорением по отношению к инерциальной системе отсчета, неинерциальна и закон инерции в ней не выполняется.

Сказанное подтверждается опытом, изображенным на рисунке. Сначала тележка движется прямолинейно и равномерно относительно земли. На ней находятся два шарика, один из которых лежит на горизонтальной поверхности, а другой подвешен на нити. Силы, действующие на каждый шарик по вертикали, уравновешены, по горизонтали никакие силы на шарики не действуют (силой сопротивления воздуха в данном случае можно пренебречь).

Шарики будут находиться в покое относительно тележки при любой скорости ее движения ($υ_1, υ_2, υ_3$ и т. д.) относительно Земли — главное, чтобы эта скорость была постоянна.

Но когда тележка попадает на песчаную насыпь, ее скорость быстро уменьшается, в результате чего тележка останавливается. Во время торможения тележки оба шарика приходят в движение, т. е. изменяют свою скорость относительно тележки, хотя нет никаких сил, которые толкали бы их.

Здесь первой (условно неподвижной) системой отсчета является Земля. Второй системой отсчета, движущейся относительно первой, является тележка. Пока тележка двигалась прямолинейно и равномерно, шарики находились в состоянии покоя относительно тележки, т. е. закон инерции выполнялся. Как только тележка начала тормозить, т. е. начала двигаться с ускорением относительно первой инерциальной системы отсчета (Земли), закон инерции перестал выполняться.

Если относительно какой-нибудь системы отсчета тело движется с ускорением, не вызванным действием на него других тел, то такую систему называют неинерциальной.

В неинерциальных системах отсчета основное положение механики о том, что ускорение тела вызывается воздействием на него других тел, не выполняется.

Следует отметить, что невозможно найти строго инерциальную систему отсчета. Реальная система отсчета всегда связывается с каким-нибудь конкретным телом (Землей, корпусом корабля или самолета и т. и.), по отношению к которому и изучается движение различных объектов. Поскольку все реальные тела движутся с тем или иным ускорением, любая реальная система отсчета может рассматриваться как инерциальная лишь приближенно.

С очень высокой степенью точности инерциальной можно считать гелиоцентрическую систему, связанную с центром Солнца и с координатными осями, направленными на три далекие звезды. Эта система используется в задачах небесной механики и космонавтики. Для решения большинства технических задач инерциальной системой отсчета можно считать любую систему, жестко связанную с Землей (или с любым телом, которое покоится или движется равномерно и прямолинейно относительно поверхности Земли).

Первый закон Ньютона

Любое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние.

Так был сформулирован Ньютоном в 1687 г. первый закон механики, или закон инерции.

Суть закона инерции впервые была изложена в одной из книг итальянского ученого Галилео Галилея, опубликованной в начале XVII в.

Ньютон обобщил выводы Галилея, сформулировав закон инерции, и включил его в качестве первого из трех законов в основу механики. Поэтому данный закон называют первым законом Ньютона.

Однако со временем выяснилось, что первый закон Ньютона выполняется не во всех системах отсчета, а только в инерциальных. Поэтому с точки зрения современных представлений первый закон Ньютона формулируется так:

Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, относительно которых свободные тела движутся прямолинейно и равномерно.

Под свободным телом здесь понимают тело, на которое не оказывают воздействие другие тела.

Следует помнить, что в первом законе Ньютона речь идет о телах, которые могут рассматриваться как материальные точки.

Принцип относительности Галилея

Принцип относительности Галилея гласит:

Во всех инерциальных системах отсчета законы механики имеют одинаковый вид.

Это означает, что уравнения, выражающие законы механики, не меняются (инвариантны) при преобразованиях Галилея.

Преобразования Галилея заключаются в преобразовании координат $r↖ (х, у, z)$ и времени $t$ движущейся материальной точки при переходе от одной инерциальной системы отсчета (ИСО) к другой:

Для координаты $х$, например, это означает:

где $υ$ — относительная скорость (постоянная) движения двух ИСО, $r↖$ и $↖=∆r↖_$. Согласно правилу сложения векторов

Однако вектор перемещения можно выразить через скорость движение системы $К'$ относительно $К: ∆r↖_=υ↖t$. Поэтому

что совпадает с (1.47).

Из уравнения (1.47) вытекает закон сложения скоростей:

где $u$ и $u'$ — скорости точки относительно систем $К$ и $К'$ соответственно.

Принцип относительности Галилея означает, что никакими механическими опытами нельзя обнаружить движение одной инерциальной системы координат относительно другой. Именно поэтому, находясь в салоне сверхзвукового самолета, пассажиры могут спокойно передвигаться, не чувствуя его скорости.

Не нужно, однако, думать, что выполнение принципа относительности означает полную тождественность движения одного и того же тела относительно разных инерциальных систем координат. Тождественны лишь законы движения. Характер же движения определяется начальными условиями (начальными скоростями и координатами тела), которые различны в разных системах отсчета.

Так, камень, выпущенный из рук в движущемся вагоне поезда, будет падать вертикально лишь относительно стен вагона, а для наблюдателя, находящегося на платформе, он будет двигаться по параболе. Объясняется это тем, что начальные скорости разные: относительно стен вагона начальная скорость равна нулю, а относительно Земли она равна скорости движения вагона.

Масса тела. Плотность вещества

Масса тела — это фундаментальная физическая величина, характеризующая его инерционные и гравитационные свойства.

Инерционные (или инертные) свойства массы в ньютоновой механике (т. е. при скоростях, существенно меньших скорости света) характеризуются соотношениями между массой $m$, импульсом $р$ тела, силой $F$, действующей на тело, и его ускорением:

Чем больше масса тела, тем более оно инертно. Сравнивать массы тел можно по ускорениям, которые приобретают тела при взаимодействии друг с другом. При этом во сколько раз ускорение одного тела в результате взаимодействия с другим больше (меньше), во столько раз масса первого тела меньше (больше) массы второго.

Чем меньше меняется скорость тела при взаимодействии, тем оно более инертно и тем его масса больше. И наоборот, чем больше меняется скорость тела при взаимодействии, тем оно менее инертно и тем его масса меньше.

Гравитационная масса. Согласно теории гравитации Ньютона, масса является источником силы всемирного тяготения $F$:

где $m_1,m_2$ — массы двух тел, $r$ — расстояние между ними, $G$ — гравитационная постоянная.

Из формул $/=F$ и $F=G/$ следует, что ускорение, с которым одно тело падает на другое, — ускорение свободного падения — не зависит от массы падающего тела, а также от других его характеристик (объема, плотности и т. д.). Это было проверено многократными экспериментами в поле тяжести Земли и Солнца и подтвердилось с точностью до $10^$ и $10^$ соответственно. Эта закономерность называется равенством инертной и гравитационной масс. Следует понимать, что речь идет на самом деле об одной и той же массе — физической величине, являющейся источником двух физических явлений — инерции и гравитации.

Масса — мера количества вещества. В классической физике масса служит также мерой количества вещества, содержащегося в теле. Здесь справедливы закон сохранения массы (вещества) и закон аддитивности: масса изолированной системы тел не меняется со временем и равна сумме масс тел, ее составляющих.

За единицу массы в СИ принят килограмм ($1$ кг).

Плотностью вещества называют физическую величину, показывающую, чему равна масса в единице объема этого вещества.

Масса любого тела зависит не только от его размеров, но и от того, из какого вещества это тело состоит. Тела, изготовленные из разных веществ, при одинаковых объемах имеют разные массы. Например, железо объемом $1м^3$ имеет массу $7800$ кг, а свинец того же объема — $13000$ кг.

Обозначим величины, входящие в это выражение, буквами: $m$ — масса, $V$ — объем тела, $р$ — плотность тела.

Тогда формулу для вычисления плотности можно записать в следующем виде:

Единицей плотности в СИ является килограмм на кубический метр (кг/$м^3$). На практике плотность вещества выражают также в граммах на кубический сантиметр (г/$см^3$).

Плотность одного и того же вещества в твердом, жидком и газообразном состоянии различна. Например, плотность воды равна $1000$ кг/$м^3$, льда — $900$ кг/$м^3$, а водяного пара (при $0°$С и нормальном атмосферном давлении) — $0.59$ кг/$м^3$.

Взаимодействие. Сила. Принцип суперпозиции сил

Взаимодействие в физике — это воздействие тел или частиц друг на друга, приводящее к изменению их движения.

Близкодействие и дальнодействие (или действие на расстоянии). О том, как осуществляется взаимодействие тел, в физике издавна существовали две точки зрения. Первая из них предполагала наличие некоторого агента (например, эфира), через который одно тело передает свое влияние на другое, причем с конечной скоростью. Это теория близкодействия. Вторая предполагала, что взаимодействие между телами осуществляется через пустое пространство, не принимающее никакого участия в передаче взаимодействия, причем передача происходит мгновенно. Это теория дальнодействия. Она, казалось бы, окончательно победила после открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Так, например, считалось, что перемещение Земли должно сразу же приводить к изменению силы тяготения, действующей на Луну. Кроме самого Ньютона, позднее концепции дальнодействия придерживались Кулон и Ампер.

После открытия и исследования электромагнитного поля теория дальнодействия была отвергнута, так как было доказано, что взаимодействие электрически заряженных тел осуществляется не мгновенно, а с конечной скоростью (равной скорости света: $c=3·10^8$ м/с) и перемещение одного из зарядов приводит к изменению сил, действующих на другие заряды, не мгновенно, а спустя некоторое время. Возникла новая теория близкодействия, которая была затем распространена и на все другие виды взаимодействий. Согласно теории близкодействия взаимодействие осуществляется посредством соответствующих полей, окружающих тела и непрерывно распределенных в пространстве (т. е. поле является тем посредником, который передает действие одного тела на другое). Взаимодействие электрических зарядов — посредством электромагнитного поля, всемирное тяготение — посредством гравитационного поля.

На сегодняшний день физике известны четыре типа фундаментальных взаимодействий, существующих в природе (в порядке возрастания интенсивности): гравитационное, слабое, электромагнитное и сильное взаимодействия.

Фундаментальными называются взаимодействия, которые нельзя свести к другим типам взаимодействий.

Фундаментальные взаимодействия отличаются интенсивностью ж радиусом действия. Под радиусом действия понимают максимальное расстояние между частицами, за пределами которого их взаимодействием можно пренебречь.

По радиусу действия фундаментальные взаимодействия делятся на дальнодействующие (гравитационное и электромагнитное) и короткодействующие (слабое и сильное).

Гравитационное взаимодействие универсально: в нем участвуют все тела в природе — от звезд, планет и галактик до микрочастиц: атомов, электронов, ядер. Его радиус действия равен бесконечности. Однако как для элементарных частиц микромира, так и для окружающих нас предметов макромира силы гравитационного взаимодействия настолько малы, что ими можно пренебречь. Оно становится заметным с увеличением массы взаимодействующих тел и потому определяющим в поведении небесных тел и образовании и эволюции звезд.

Основные характеристики фундаментальных взаимодействий

Взаимодействие Взаимодействующие частицы Радиус действия, $м$ Относительная интенсивность Гравитационное Все $∞$ 1 Слабое Все, кроме фотона $10^$ $10^$ Электромагнитное Заряженные частицы $∞$ $10^$ Сильное Адроны $10^$ $10^$

Слабое взаимодействие присуще всем элементарным частицам, кроме фотона. Оно отвечает за большинство ядерных реакций распада и многие превращения элементарных частиц.

Электромагнитное взаимодействие определяет структуру вещества, связывая электроны и ядра в атомах и молекулах, объединяя атомы и молекулы в различные вещества. Оно определяет химические и биологические процессы. Электромагнитное взаимодействие является причиной таких явлений, как упругость, трение, вязкость, магнетизм и составляет природу соответствующих сил. На движение макроскопических электронейтральных тел оно существенного влияния не оказывает.

Сильное взаимодействие осуществляется между адронами, именно оно удерживает нуклоны в ядре.

В 1967 г. Шелдон Глэшоу, Абдус Салам и Стивен Вайнберг создали теорию, объединяющую электромагнитное и слабое взаимодействия в единое электрослабое взаимодействие с радиусом действия $10^ м$, в пределах которого исчезает различие между слабым и электромагнитным взаимодействиями.

В настоящее время выдвинута теория великого объединения, согласно которой существуют лишь два типа взаимодействий: объединенное, куда входят сильное, слабое и электромагнитное взаимодействия, и гравитационное взаимодействие.

Есть также предположение, что все четыре взаимодействия являются частными случаями проявления единого взаимодействия.

В механике взаимное действие тел друг на друга характеризуется силой. Более общей характеристикой взаимодействия является потенциальная энергия.

Силы в механике делятся на гравитационные, упругости и трения. Как уже упоминалось выше, природа механических сил обусловлена гравитационным и электромагнитным взаимодействиями. Только эти взаимодействия можно рассматривать как силы в смысле механики Ньютона. Сильные (ядерные) и слабые взаимодействия проявляются на таких малых расстояниях, при которых законы механики Ньютона, а вместе с ними и понятие механической силы теряют смысл. Поэтому термин «сила» в этих случаях следует воспринимать как «взаимодействие».

Сила в механике — это величина, являющаяся мерой взаимодействия тел.

При механическом движении проявляются следующие виды сил: силы упругости, силы трения и гравитационные силы (всемирного тяготения).

Действие одного тела на другое приводит как к изменению скорости всего тела как целого, так и к изменению скорости отдельных его частей.

Мерой этого действия является сила. Часто не указывают, какое тело и как действовало на данное тело. Просто говорят, что на тело действует сила, или к нему приложена сила.

Действие одного тела на другое может производиться как при непосредственном контакте (давление, трение), так и посредством создаваемых телами полей (электромагнитное поле, гравитационное поле).

Проявлением действия силы является изменение ускорения тела.

Сила, как и скорость, — векторная величина, т. е. имеет не только численное значение, но и направление. Сила обычно обозначается буквой $F↖$, модуль силы — буквой $F$ (без стрелки). Прямая, вдоль которой направлена сила, называется линией действия силы. Когда говорят о силе, важно указать, к какой точке тела приложена действующая на него сила. Если речь идет об абсолютно твердом (недеформируемом) теле, то можно считать, что сила приложена к любой точке на линии ее действия.

Итак, результат действия силы на тело зависит от ее модуля, направления и точки приложения.

Иначе говоря, сила — векторная величина, характеризующаяся численным значением, направлением в пространстве и точкой приложения.

Единицей силы в СИ является ньютон (H). Один ньютон (1 H) — это сила, которая за $1$с изменяет скорость тела массой $1$ кг на $1$ м/с. Эта единица названа в честь великого английского ученого Исаака Ньютона (1642-1727). На практике применяются также килоньютоны и миллиньютоны:

Принцип суперпозиции сил

Обычно на любое движущееся тело действует не одна, а сразу несколько сил. Так, например, на парашютиста, спускающегося на землю, действуют сила тяжести и сила сопротивления воздуха. На тело, висящее на пружине, действуют две силы: сила тяжести и сила упругости пружины.

В каждом подобном случае несколько сил, приложенных к телу, можно заменить одной суммарной силой $F↖$, равноценной по своему действию этим силам. Сила, производящая на тело такое же действие, как несколько одновременно действующих сил, называется равнодействующей этих сил:

В этом состоит принцип суперпозиции (наложения) сил.

Равнодействующая сила, действующая на частицу со стороны других тел, равна векторной сумме сил, с которыми каждое из этих тел действует на частицу.

Для нахождения равнодействующей силы пользуются правилами сложения векторов (поскольку сила — векторная величина), в частности, сложение двух сил производится по правилу параллелограмма.

О двух силах, равных по величине и направленных вдоль одной прямой в противоположные стороны, говорят, что они уравновешивают, или компенсируют друг друга. Равнодействующая $F$ таких сил всегда равна нулю и потому изменить скорость тела не может.

Для изменения скорости тела относительно Земли необходимо, чтобы равнодействующая всех приложенных к телу сил была отлична от нуля. В том случае, когда тело движется в направлении равнодействующей силы, его скорость возрастает; при движении в противоположном направлении скорость тела убывает. Таким образом, направление скорости не всегда совпадает с направлением действующей силы $F$, а вот изменение направления скорости (а следовательно, и направление ускорения) всегда совпадает с направлением действующей силы.

Второй закон Ньютона

Второй закон Ньютона формулируется так:

Ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей всех сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально его массе. Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей всех сил.

Следует помнить, что во втором законе Ньютона, так же, как и в первом, под телом подразумевается материальная точка, движение которой рассматривается в инерциальной системе отсчета.

Математически второй закон Ньютона выражается формулой:

В скалярном виде второй закон можно записать:

Отсюда можно вывести два следствия:

  1. Чем больше сила, приложенная к телу, тем больше его ускорение, и следовательно, тем быстрее изменяется скорость движения этого тела.
  2. Чем больше масса тела, тем меньшее ускорение оно получает в результате действия данной силы и потому тем медленнее изменяет свою скорость.

Формулировка второго закона механики, данная самим Ньютоном, такова:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

В современном виде закон этот записывается следующим образом:

где $mυ↖$ — количество движения тела. Количество движения называют также импульсом тела $p↖$:

Когда равнодействующая сил, приложенных к телу, постоянна ($F↖=const$), дифференцирование в $/=F↖$ можно заменить разностью $∆$, поскольку изменение скорости (ускорение) постоянно:

Второй закон Ньютона иногда называют основным законом динамики. После его открытия стало возможным решать такие задачи о движении тел, которые до Ньютона казались неразрешимыми. Многие казавшиеся ранее непонятными явления теперь были объяснены на основе открытых законов физики.

На основании второго закона Ньютона вводится единица силы в СИ — ньютон (Н). Один ньютон ($1Н$) — это сила, с которой нужно действовать на тело массой в $1$ кг, чтобы сообщить ему ускорение в $1$ м/$с^2$.

Подставив в формулу значения ускорения и массы с их размерностями из приведенного определения, выразим размерность силы в $1Н$ через основные единицы СИ:

Третий закон Ньютона

Третий закон Ньютона гласит:

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собой равны и направлены в противоположные стороны.

В своем первом законе Ньютон описал движение тела, не подверженного действию других тел. В этом случае тело либо сохраняет свое состояние покоя, либо движется равномерно и прямолинейно (относительно инерциальной системы отсчета).

Во втором законе Ньютона речь идет о прямо противоположной ситуации. Теперь на данное тело действуют внешние тела, причем их количество может быть произвольным. Под действием окружающих тел рассматриваемое тело начинает двигаться с ускорением, причем произведение массы данного тела на его ускорение оказывается равным действующей силе.

Сформулировав эти два закона, Ньютон обратился к анализу ситуации, когда во взаимодействии участвуют только два тела. Допустим, имеются два тела $А$ и $В$, которые притягивают друг друга с силами $F$ и $F'$, Может ли одна из этих сил быть больше другой? Размышление над этой проблемой привело Ньютона к выводу, что такого быть не может: силы взаимодействия двух тел всегда равны друг другу. Каким образом Ньютон пришел к такому заключению? Вот как он рассуждал: «Относительно притяжения дело может быть изложено вкратце следующим образом: между двумя взаимно притягивающимися телами надо вообразить какое-либо препятствие, мешающее их сближению. Если бы одно из тел $А$ притягивалось телом $В$ сильнее, нежели тело $В$ притягивается телом $А$, то препятствие испытывало бы со стороны тела $А$ большее давление, нежели со стороны тела $В$, и, следовательно, не осталось бы равновесия. Преобладающее давление вызвало бы движение системы, состоящей из этих двух тел и препятствия, в сторону тела $В$, ив свободном пространстве эта система, двигаясь ускоренно, ушла бы в бесконечность. Такое заключение нелепо и противоречит первому закону. Отсюда следует, что оба тела давят на препятствие с равными силами, а значит, и притягиваются взаимно с таковыми же».

Следует помнить, что силы, о которых говорится в законе Ньютона, никогда не уравновешивают друг друга, поскольку они приложены к разным телам. Две равные по модулю и противоположно направленные силы уравновешивают друг друга в том случае, если они приложены к одному телу. Тогда их равнодействующая равна нулю, и тело при этом находится в равновесии, т. е. либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно.

Опыты подтверждают вывод Ньютона. Если, например, взять две тележки и на одной из них закрепить магнит, а на другой кусок железа, а затем соединить их с динамометрами, то мы увидим, что показания этих приборов совпадут. Это означает, что сила, с которой магнит притягивает к себе железо, равна по величине силе, с которой железо притягивает к себе магнит. Эти силы равны по абсолютной величине и противоположны по направлению: сила притяжения к магниту направлена влево, а сила притяжения к железу вправо.

Итак, третий закон Ньютона на более привычном для нас языке может быть сформулирован так:

Силы, с которыми взаимодействуют любые два тела, всегда равны по величине и противоположны по направлению.

Математически он записывается в следующем виде:

Знак «минус» показывает, что векторы сил направлены в противоположные стороны. Используя второй закон Ньютона, можно записать:

Отсюда следует, что

Таким образом, отношение модулей ускорений двух взаимодействующих тел определяется исключительно их массами (чем меньше масса тела, тем большее ускорение оно приобретает) и не зависит от природы сил взаимодействия.

Третий закон Ньютона обосновывает введение самого термина «взаимодействие»: если одно тело действует на другое, то второе также действует на первое. Другими словами, не может быть такого, чтобы одно тело на другое действовало, а второе на первое — нет. Как писал сам Ньютон, «если кто нажимает пальцем на камень, то и палец его также нажимается камнем. Если лошадь тащит камень, привязанный к канату, то и обратно (если можно так выразиться) она с равным усилием оттягивается к камню».

Закон всемирного тяготения

Закон всемирного тяготения (закон тяготения Ньютона) был открыт великим английским ученым Исааком Ньютоном в конце 60-х годов XVII века и опубликован в 1687 г. Он гласит:

Сила гравитационного притяжения двух тел с массами $m_1$ и $m_2$ прямо пропорциональна массе каждого из тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния $r^2$ между ними:

где $G$ — гравитационная постоянная. Значение гравитационной постоянной было определено экспериментально в 1798 г. английским физиком Г. Кавендишем и составляет $6.67·10^H·м^2$/$кг^2$. Гравитацией (от лат. gravitas — тяжесть) называется притяжение всех тел во Вселенной друг к другу.

Закон всемирного тяготения имеет всеобъемлющий характер. Притяжение существует не только между Землей и телами, находящимися на ней. Все тела притягиваются друг к другу. Притягиваются между собой Земля и Луна. Притяжение Земли к Луне вызывает приливы и отливы воды. Огромные массы воды поднимаются в океанах и морях дважды в сутки на много метров. Земля и другие планеты движутся вокруг Солнца, притягиваясь друг к другу.

Необходимо помнить, что закон тяготения как всеобщий закон справедлив для материальных точек, и силы гравитационного взаимодействия направлены вдоль линии, соединяющей эти точки. Такие силы называются центральными.

При расчетах силы тяготения между двумя телами под расстоянием $г$ между ними имеется в виду расстояние между центрами тяжести этих тел. Это особенно важно в том случае, когда размеры тел сопоставимы с расстоянием между ними (тогда форма тела имеет значение). Как показывают расчеты, точные значения силы тяжести можно определить в следующих случаях:

  1. размеры тел пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием между ними;
  2. имеются два однородных шара (произвольного размера);
  3. форма одного из тел — шар, а размеры и масса его тела намного больше, чем у второго тела (произвольной формы), которое находится вблизи поверхности первого.

Благодаря последнему случаю можно рассчитать силу притяжения к Земле любого предмета, находящегося на ней.

Сила тяжести

Сила, с которой Земля притягивает к себе тело, находящееся вблизи ее поверхности, называется силой тяжести.

То, что Земля притягивает к себе все тела, находящиеся на ее поверхности и вблизи нее (деревья, воду, дома, Луну и т. д.), или явление тяготения, следует из простых наблюдений за окружающим миром. Так, мяч, брошенный в горизонтальном направлении, через некоторое время оказывается на земле; камень, выпущенный из рук, падает вниз; прыгнувший вверх человек вскоре снова оказывается внизу. Благодаря явлению тяготения искусственный спутник, запущенный с Земли, летит не по прямой, а движется вокруг Земли.

Сила тяжести всегда направлена вертикально вниз, к центру Земли. Обозначается она обычно латинской буквой $F$ со значком «т» (тяжесть) внизу — $F_т$. Сила тяжести приложена к центру тяжести тела.

Центр тяжести тела произвольной формы находят так: подвешивают тело на нити за разные его точки. Точка пересечения всех направлений, отмеченных нитью, и будет центром тяжести тела. Для тел правильной формы центр тяжести находится в центре симметрии тела, и точка эта не обязательно принадлежит телу (например, центр симметрии кольца).

Сила тяжести для тела, находящегося вблизи поверхности Земли, равна:

где $M_3$ — масса Земли, $m$ — масса тела, $R_3$ — радиус Земли.

Согласно второму закону Ньютона, сила тяжести может быть определена как произведение массы тела на ускорение, которое в данном случае называется ускорением свободного падения $g$:

Сопоставляя две последние формулы, получим выражение для ускорения свободного падения:

Таким образом, ускорение, с которым тело падает на Землю, — ускорение свободного падения — не зависит от массы тела, а также от других его характеристик (объема, плотности и т. д.)

Вблизи поверхности Земли оно составляет $9.8$ м/$с^2$.

Земной шар немного сплюснут у полюсов, поэтому тела, находящиеся около полюсов, расположены немного ближе к центру Земли. В связи с этим сила тяжести на полюсе немного больше, чем на экваторе и других широтах (на экваторе $g = 9.78$ м/$с^2$, на Северном полюсе $g = 9.832$ м/$с^2$).

Сила тяжести, а значит, и ускорение свободного падения уменьшается при удалении от поверхности Земли. Для тела, находящегося на высоте $h$ над поверхностью Земли выражение для силы тяжести следует писать в виде:

Соответственно, для ускорения свободного падения:

Из приведенной формулы следует, что лишь при подъеме на высоту $300$ км ускорение свободного падения уменьшается на $1$ м/$с^2$, т. е. всего на $10%$, а на высотах не только в несколько десятков или сотен метров, но и многих километров сила тяжести может считаться постоянной, не зависящей от положения тела. Именно благодаря этому свободное падение вблизи Земли можно считать равноускоренным движением.

Вес тела, невесомость, перегрузка

Вес — это сила, с которой любое тело вследствие притяжения Земли действует на опору или подвес.

Вес тела — векторная физическая величина, его обозначают буквой $Р$. Вес покоящегося, а также равномерно и прямолинейно движущегося (относительно Земли) тела по своему численному значению равен действующей на него силе тяжести:

где $m$ — масса, $g$ — ускорение свободного падения.

Вес и сила тяжести приложены к разным телам, а именно: вес приложен к опоре или подвесу, а сила тяжести — к телу.

Вес и сила тяжести имеют разную физическую природу. Сила тяжести возникает вследствие взаимодействия тела и Земли. Вес тела возникает в результате взаимодействия тела и опоры (подвеса). Опора (подвес) и тело при этом деформируются, что приводит к появлению силы упругости. Из третьего закона Ньютона следует, что вес тела, т. е. сила, с которой тело давит на опору (или растягивает подвес), совпадает по величине с силой, действующей со стороны опоры на данное тело. Сила, с которой опора давит на находящееся на ней тело, называется силой реакции опоры. Обозначив силу реакции опоры через $N$, мы можем записать:

Полученная формула является более общей, чем $P=mg$, так как она остается справедливой и в том случае, когда тело вместе с опорой совершает ускоренное движение.

Вес тела не следует путать с его массой. Масса тела является скалярной величиной и измеряется в килограммах, а вес тела (как и любая другая сила) — векторная величина и измеряется в ньютонах.

Поскольку вес тела пропорционален ускорению свободного падения, которое различно на различных широтах, то вес тела зависит от географической широты и высоты местности (на полюсах вес несколько больше, чем на экваторе).

Вес можно измерять с помощью пружинных весов (динамометра).

Состояние невесомости — это состояние, в котором находится материальное тело, свободно движущееся в поле тяготения Земли (или другого небесного тела) под действием только сил тяготения. Отличительной особенностью такого состояния является отсутствие давления как на все тело в целом, так и на отдельные его части.

Рассмотрим условие достижения невесомости.

Если опора движется вместе с телом с ускорением а, направление которого совпадает с направлением ускорения свободного падения, то вес тела (определяемый из векторного уравнения $N↖+↖=m↖$) в проекции на вертикальную ось $OZ$, направленную вверх, равен:

Когда $g=a$, $P=0$, наступает невесомость.

При движении тела и опоры в направлении, противоположном направлению свободного падения, получим:

В этом случае наступает перегрузка — вес тела увеличивается.

Движение небесных тел

Вокруг Солнца движутся девять больших планет. Все они удерживаются около Солнца силами тяготения. Эти силы очень велики. Например, между Солнцем и Землей действует сила тяготения, равная примерно $3⋅10^Н$. Большое числовое значение этой силы объясняется тем, что массы Солнца и Земли очень велики.

Среди больших планет Солнечной системы наименьшую массу имеет Меркурий — его масса почти в $19$ раз меньше массы Земли. Вокруг многих планет движутся их спутники, которые также удерживаются вблизи планет силами тяготения. Спутник нашей Земли — Луна — самое близкое к нам небесное тело. Расстояние между Землей и Луной равно в среднем $380000$ км. Масса Луны в $81$ раз меньше массы Земли.

Чем меньше масса планеты, тем с меньшей силой она притягивает к себе тела. Сила тяжести на поверхности любой планеты рассчитывается по формуле:

где $m$ — масса тела, $g$ — ускорение свободного падения на данной планете, $М$ — масса планеты, $R$ — радиус планеты, $G$ — гравитационная постоянная.

Космические скорости

Первая космическая скорость — это скорость, которую необходимо сообщить телу, чтобы оно стало искусственным спутником Земли, т. е. двигалось вокруг нее с постоянной скоростью по круговой орбите под действием силы тяжести.

Скорость эта определяется с учетом скорости равномерного движения по окружности и закона всемирного тяготения.

Центростремительное ускорение $а$ тела, равномерно движущегося по окружности, определяется выражением $a_n=/$. Поскольку в данном случае $а$ равно $g$ — ускорению свободного падения (т. к. тело движется в поле тяжести Земли), то, подставляя в $a_n=/$ вместо $а$ выражение для $g$ из $g=G/$, получим:

Здесь $G$ — гравитационная постоянная, $М_3$ — масса Земли, $R_3$ — радиус Земли, $h$ — высота тела над поверхностью Земли. Это и есть формула круговой скорости спутника Земли. С такой скоростью движется спутник Земли по круговой орбите на высоте $h$ от поверхности Земли.

Пренебрегая $h$ по сравнению с $R$, получим:

Это формула для расчета первой космической скорости при запуске спутника, т. е. той горизонтальной скорости, которую необходимо сообщить телу вблизи поверхности Земли, чтобы оно стало ее спутником. Запуск искусственного спутника осуществляется с помощью ракеты-носителя, которая поднимает тело спутника на высоту порядка $300$ км (это та высота, на которой уже почти не сказывается сопротивление атмосферы) и придает ему горизонтальную скорость $υ_1$. Спутник отделяется от ракеты-носителя и продолжает свое движение в гравитационном поле Земли. Численное значение первой космической скорости составляет $7.9$ км/с. Если придать телу большую скорость, оно будет двигаться по эллиптической орбите. По мере увеличения начальной скорости, придаваемой телу при запуске, орбита его будет вытягиваться, пока наконец не превратится в незамкнутую кривую — параболу.

Вторая космическая (параболическая) скорость — это скорость, которую надо придать телу у поверхности Земли, чтобы оно ее покинуло, двигаясь по параболической траектории. Эта скорость в $√2$ раза больше первой космической: $υ_=√2·υ_=11.2$ км/с. При второй космической скорости тело покидает Землю, но остается в пределах Солнечной системы. Оно становится спутником Солнца.

Третья космическая скорость — это та наименьшая скорость, при которой тело, начиная движение вблизи поверхности Земли, покидает сначала Землю, а затем преодолевает притяжение Солнца, покидая Солнечную систему. Она равна $υ_=16.7$ км/с.

Сила упругости. Закон Гука

Упругость — свойство тел изменять форму и размеры (деформироваться) под действием нагрузок и самопроизвольно восстанавливать первоначальные форму и размеры при прекращении внешних воздействий.

Деформацией (от лат. deformatio — искажение) называют любое изменение размеров и формы тела.

Деформации бывают разных видов: растяжения, сжатия, сдвига, изгиба, кручения. Все перечисленные виды деформации возможны в твердых телах. В жидкостях и газах возможны только деформации объемного сжатия и растяжения, т. к. эти среды не обладают упругостью формы, а только объема (как известно, жидкость принимает форму сосуда, в котором находится, а газ занимает весь предоставленный ему объем).

Деформация называется упругой, если она возникает и исчезает одновременно с внешним воздействием.

Деформация, которая не исчезает после прекращения внешнего воздействия, называется пластической.

Если, например, пружину несколько растянуть, а затем отпустить, то она снова примет свою первоначальную форму. Но ту же пружину можно растянуть настолько, что после того, как ее отпустят, она так и останется растянутой.

При деформации тел возникают силы упругости, которые используются, например, в динамометрах. Пластические деформации применяют при лепке из пластилина и глины, при обработке металлов — ковке, штамповке.

Сила, возникающая в теле в результате его деформации и стремящаяся вернуть тело в исходное положение, называется силой упругости.

Сила упругости возникает и при растяжении (например, если подвесить гирю на нить), и при изгибе, и при других видах деформации.

Возникновение силы упругости можно понять из следующего опыта. На рисунке, изображена ненагруженная пружина. Если на нее сверху поместить гирю, то под действием силы тяжести гиря начнет двигаться вниз, сжимая пружину, т. е. деформируя ее, но через некоторое время остановится. Так как тело (гиря) неподвижно, значит, силы, действующие на него, уравновешены, т. е. сила тяжести уравновешена силой, действующей на гирю со стороны сжатой пружины. Это и есть сила упругости.

Если на опору поместить достаточно легкий предмет, то ее деформация может оказаться столь незначительной, что изменение формы опоры будет незаметным. Но деформация все равно будет иметь место, а вместе с ней будет действовать и сила упругости, препятствующая падению тел, находящихся на данной опоре. В случае, когда деформация тела незаметна и изменением размеров опоры можно пренебречь, силу упругости называют силой реакции опоры.

Силы упругости возникают всегда при попытке изменить форму или объем твердого тела, при изменении объема жидкости или газа.

В отличие от сил тяготения, которые действуют между телами всегда, силы упругости возникают в теле лишь при определенном условии: тело должно быть деформировано.

Закон Гука

Закон Гука — основной закон теории упругости. Он был открыт английским ученым Робертом Гуком в 1660 г., когда ему было 25 лет. Закон Гука гласит:

Сила упругости, возникающая при упругой деформации растяжения или сжатия тела, пропорциональна абсолютному значению изменения длины тела.

Если удлинение тела обозначить через $х$, а силу упругости через $F_$, то закон Гука можно записать в виде следующей математической формулы:

где $k$ — коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью тела. Знак минус перед правой частью уравнения указывает на противоположные направления силы упругости и удлинения $х$. Единицей жесткости в СИ является ньютон на метр ($1$ Н/м).

У каждого тела своя жесткость. Чем больше жесткость тела (пружины, проволоки, стержня и т. д.), тем меньше оно изменяет свою длину под действием данной силы.

Следует помнить, что закон Гука справедлив только для упругой деформации. Закон Гука хорошо выполняется только при малых деформациях. При больших деформациях изменение длины перестает быть прямо пропорциональным приложенной силе, а при очень больших деформациях тело разрушается.

Сила трения

Взаимодействие, возникающее в месте соприкосновения тел и препятствующее их относительному движению, называют трением, а характеризующую это взаимодействие силу — силой трения.

Силы трения, как и силы упругости, имеют электромагнитную природу. Трение между двумя твердыми телами называют сухим трением.

Различают три вида трения: трение покоя, трение скольжения и трение качения.

1. Трение покоя — трение, возникающее при отсутствии относительного перемещения соприкасающихся тел.

Трение покоя удерживает грузы, находящиеся на движущейся ленте транспортера, от соскальзывания, препятствует развязыванию шнурков, удерживает гвозди, вбитые в доску, и т. д.

Сила трения покоя — это сила, препятствующая возникновению движения одного тела относительно другого. Направлена сила трения покоя всегда против силы, приложенной извне параллельно поверхности соприкосновения и стремящейся сдвинуть с места предмет, т. е. против предполагающегося движения. Измерить силу трения покоя можно с помощью груза, перекинутого через блок и связанного с телом через динамометр.

Сила трения покоя растет вместе с силой, стремящейся сдвинуть тело с места. Но для любых двух соприкасающихся тел она имеет некоторое максимальное значение $(F_)_$, больше которого она быть не может. Например, для деревянного бруска, находящегося на деревянной доске, максимальная сила трения покоя составляет $0.6$ от его веса. Максимальная сила трения покоя пропорциональна силе нормального давления, равного по модулю силе реакции опоры $N$:

где $μ_$ — коэффициент трения покоя.

Максимальная сила трения покоя не зависит от площади соприкосновения поверхностей. Она зависит от качества обработки соприкасающихся поверхностей и от материалов тел.

2. Трение скольжения. Приложив к телу силу, превышающую максимальную силу трения покоя, мы сдвинем тело с места, и оно начнет двигаться. Трение покоя при этом сменится трением скольжения.

Сила трения скольжения всегда направлена в сторону, противоположную относительной скорости соприкасающихся тел.

Как и максимальная сила трения покоя, сила трения скольжения пропорциональна силе нормального давления и, следовательно, силе реакции опоры:

где $μ$ — коэффициент трения скольжения (при небольших скоростях $μ (F_)_$.

При небольших скоростях приближенно их можно считать равными:

Причины возникновения силы трения

  1. Шероховатость поверхностей соприкасающихся тел. Даже те поверхности, которые выглядят гладкими, на самом деле всегда имеют микроскопические неровности (выступы, впадины). При скольжении одного тела по поверхности другого эти неровности зацепляются друг за друга и всегда мешают движению.
  2. Межмолекулярное притяжение, действующее в местах контакта трущихся тел. Межмолекулярное притяжение проявляется в тех случаях, когда поверхности соприкасающихся тел хорошо отполированы. Так, например, при относительном скольжении двух металлов с очень чистыми и ровными поверхностями, обработанными в вакууме с помощью специальной технологии, сила трения оказывается намного больше, чем при перемещении неровного бруска дерева по земле. В некоторых случаях эти металлы даже «схватываются» друг с другом, и дальнейшее скольжение невозможно.
  3. Трение качения. Если тело не скользит по поверхности другого тела, а, подобно колесу или цилиндру, катится, то возникающее в месте их контакта трение называют трением качения. Катящееся колесо все время вдавливается в полотно дороги, и потому перед ним все время оказывается небольшой бугорок, который необходимо преодолеть. Именно этим и обусловлено трение качения. При этом чем дорога тверже, тем трение качения меньше.

Как и в предыдущих случаях, сила трения качения пропорциональна силе реакции опоры:

где $μ_$ — коэффициент трения качения.

Благодаря тому, что $μ_ F_т$), то тело всплывет;

3) если архимедова сила равна силе тяжести ($F_A = F_т$), то тело останется в покое.

Последнее условие является условием равновесия тела в жидкости:

Равенство $F_A=F_т$ выражает условие плавания тел: для того чтобы тело плавало, необходимо, чтобы действующая на него сила тяжести уравновешивалась архимедовой (выталкивающей) силой.

Условию плавания тел можно придать другую форму. Представим архимедову силу в виде

где $р_ж$ — плотность жидкости, $V_ж$ — объем жидкости, вытесненный телом, $g$ — ускорение свободного падения.

Силу тяжести, действующую на тело, тоже можно выразить через объем $V$ и плотность тела $р$:

где $m$ — масса тела. Подставим выражения $F_A=p_V_g$ и $F_т=mg=pVg$ в равенство $F_A=F_т$:

Разделив обе части этого равенства на $g$, получим условие плавание тел в новой форме:

Из полученного соотношения можно вывести два важных следствия.

  1. Для того чтобы тело плавало, будучи полностью погруженным в жидкость, необходимо, чтобы плотность тела была равна плотности жидкости.
  2. Для того чтобы тело плавало, частично выступая над поверхностью жидкости, необходимо, чтобы плотность тела была меньше плотности жидкости.

При $р > р_ж$ плавание тел невозможно, так как в этом случае сила тяжести превышает архимедову силу, и тело тонет.

Что будет происходить с телом, у которого $р > р_ж$, если его полностью погрузить в жидкость? В этом случае архимедова сила будет преобладать над силой тяжести, и потому тело начнет подниматься вверх. Пока тело будет двигаться, оставаясь полностью погруженным в жидкость, архимедова сила будет оставаться неизменной. Но как только тело достигнет поверхности жидкости и появится над ней, эта сила (по мере уменьшения объема части тела, погруженного в жидкость) будет становиться все меньше и меньше. Всплытие прекратится тогда, когда архимедова (выталкивающая) сила станет равной силе тяжести. При этом чем меньшей плотностью (по сравнению с плотностью жидкости) обладает тело, тем меньшая его часть останется внутри жидкости.

Плавание судов

Масса современных судов достигает нескольких десятков тысяч тонн. Почему же они не тонут? Дело в том, что, несмотря на огромную массу, их средняя плотность по-прежнему меньше плотности воды (благодаря тому, что в кораблях много пустых помещений). При этом сила тяжести, действующая на судно, уравновешивается архимедовой (выталкивающей) силой, и судно плавает.

Глубина, на которую плавающее судно погружается в воду, называется осадкой судна. При полной загрузке судна оно не должно погружаться в воду ниже так называемой грузовой ватерлинии.

Вес воды, вытесняемый судном при погружении до ватерлинии, равный силе тяжести, действующей на судно с грузом, называется водоизмещением судна.

Если из водоизмещения вычесть вес самого судна, получим грузоподъемность судна. Грузоподъемность показывает вес груза, перевозимого судном.

Воздухоплавание

На все тела в воздухе (как и в жидкости) действует выталкивающая (архимедова) сила. Для тел, находящихся в воздухе, она равна:

где $p_$ — плотность воздуха.

Если эта сила окажется больше силы тяжести, действующей на тело, то тело взлетит. На этом основано воздухоплавание.

Летательные аппараты, применяемые в воздухоплавании, называют аэростатами (от греч. aer — воздух, statos — стоящий). Неуправляемые аэростаты свободного полета с оболочкой, имеющей форму шара, называют воздушными шарами. Для исследования верхних слоев атмосферы (стратосферы) еще не так давно применялись огромные воздушные шары — стратостаты. Управляемые аэростаты (имеющие двигатель и воздушные винты) называют дирижаблями.

Воздушный шар не только сам поднимается вверх, но может поднять и некоторый груз: кабину, людей, приборы. Для того чтобы определить, какой груз способен поднять воздушный шар, нужно знать его подъемную силу. Подъемная сила воздушного шара равна разности между архимедовой силой и действующей на шар силой тяжести:

Чем меньше плотность газа, наполняющего воздушный шар данного объема, тем меньше действующая на него сила тяжести и тем больше возникающая подъемная сила. Воздушные шары можно наполнять гелием, водородом или нагретым воздухом. Хотя у водорода меньше плотность, чем у гелия, все же чаще в целях безопасности применяют гелий (водород — горючий газ).

Гораздо проще осуществить подъем и спуск шара, наполненного горячим воздухом. Для этого под отверстием, находящимся в нижней части шара, располагают горелку. Она позволяет регулировать температуру воздуха, а значит, и его плотность и подъемную силу.

Можно подобрать такую температуру шара, при которой вес шара и кабины будет равен выталкивающей силе. Тогда шар повиснет в воздухе, и с него будет легко проводить наблюдения.

Импульс тела

Импульсом тела называется величина, равная произведению массы тела на его скорость.

Следует помнить, что речь идет о теле, которое можно представить как материальную точку. Импульс тела ($р$) называют также количеством движения. Понятие количества движения было введено в физику Рене Декартом (1596—1650). Термин «импульс» появился позже (impulsus в переводе с латинского означает «толчок»). Импульс является векторной величиной (как и скорость) и выражается формулой:

Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением скорости.

За единицу импульса в СИ принимают импульс тела массой $1$ кг, движущегося со скоростью $1$ м/с, следовательно, единицей импульса является $1$ кг $·$ м/с.

Если на тело (материальную точку) действует постоянная сила в течение промежутка времени $∆t$, то постоянным будет и ускорение:

где, $↖$ и $↖$ — начальная и конечная скорости тела. Подставив это значение в выражение второго закона Ньютона, получим:

Раскрыв скобки и воспользовавшись выражением для импульса тела, имеем:

Здесь $↖-↖=∆p↖$ — изменение импульса за время $∆t$. Тогда предыдущее уравнение примет вид:

Выражение $∆p↖=F↖∆t$ представляет собой математическую запись второго закона Ньютона.

Произведение силы на время ее действия называют импульсом силы. Поэтому изменение импульса точки равно изменению импульса силы, действующей на нее.

Выражение $∆p↖=F↖∆t$ называется уравнением движения тела. Следует заметить, что одно и то же действие — изменение импульса точки — может быть получено малой силой за большой промежуток времени и большой силой за малый промежуток времени.

Импульс системы тел. Закон изменения импульса

Импульсом (количеством движения) механической системы называется вектор, равный сумме импульсов всех материальных точек этой системы:

Законы изменения и сохранения импульса являются следствием второго и третьего законов Ньютона.

Рассмотрим систему, состоящую из двух тел. Силы ($F_$ и $F_$ на рисунке, с которыми тела системы взаимодействуют между собой, называются внутренними.

Пусть кроме внутренних сил на систему действуют внешние силы $↖$ и $↖$. Для каждого тела можно записать уравнение $∆p↖=F↖∆t$. Сложив левые и правые части этих уравнений, получим:

В левой части стоит геометрическая сумма изменений импульсов всех тел системы, равная изменению импульса самой системы — $↖$.С учетом этого равенство $↖+↖=(↖+↖)∆t$ можно записать:

где $F↖$ — сумма всех внешних сил, действующих на тело. Полученный результат означает, что импульс системы могут изменить только внешние силы, причем изменение импульса системы направлено так же, как суммарная внешняя сила. В этом суть закона изменения импульса механической системы.

Внутренние силы изменить суммарный импульс системы не могут. Они лишь меняют импульсы отдельных тел системы.

Закон сохранения импульса

Из уравнения $↖=F↖∆t$ вытекает закон сохранения импульса. Если на систему не действуют никакие внешние силы, то правая часть уравнения $↖=F↖∆t$ обращается в ноль, что означает неизменность суммарного импульса системы:

Система, на которую не действуют никакие внешние силы или равнодействующая внешних сил равна нулю, называется замкнутой.

Закон сохранения импульса гласит:

Суммарный импульс замкнутой системы тел остается постоянным при любых взаимодействиях тел системы между собой.

Полученный результат справедлив для системы, содержащей произвольное число тел. Если сумма внешних сил не равна нулю, но сумма их проекций на какое-то направление равна нулю, то проекция импульса системы на это направление не меняется. Так, например, система тел на поверхности Земли не может считаться замкнутой из-за силы тяжести, действующей на все тела, однако сумма проекций импульсов на горизонтальное направление может оставаться неизменной (при отсутствии трения), т. к. в этом направлении сила тяжести не действует.

Реактивное движение

Рассмотрим примеры, подтверждающие справедливость закона сохранения импульса.

Возьмем детский резиновый шарик, надуем его и отпустим. Мы увидим, что когда воздух начнет выходить из него в одну сторону, сам шарик полетит в другую. Движение шарика является примером реактивного движения. Объясняется оно законом сохранения импульса: суммарный импульс системы «шарик плюс воздух в нем» до истечения воздуха равен нулю; он должен остаться равным нулю и во время движения; поэтому шарик движется в сторону, противоположную направлению истечения струи, и с такой скоростью, что его импульс по модулю равен импульсу воздушной струи.

Реактивным движением называют движение тела, возникающее при отделении от него с какой- либо скоростью некоторой его части. Вследствие закона сохранения импульса направление движения тела при этом противоположно направлению движения отделившейся части.

На принципе реактивного движения основаны полеты ракет. Современная космическая ракета представляет собой очень сложный летательный аппарат. Масса ракеты складывается из массы рабочего тела (т. е. раскаленных газов, образующихся в результате сгорания топлива и выбрасываемых в виде реактивной струи) и конечной, или, как говорят, «сухой» массы ракеты, остающейся после выброса из ракеты рабочего тела.

Когда реактивная газовая струя с большой скоростью выбрасывается из ракеты, сама ракета устремляется в противоположную сторону. Согласно закону сохранения импульса, импульс $m_

υ_p$, приобретаемый ракетой, должен быть равен импульсу $m_·υ_$ выброшенных газов:

Отсюда следует, что скорость ракеты

Из этой формулы видно, что скорость ракеты тем больше, чем больше скорость выбрасываемых газов и отношение массы рабочего тела (т. е. массы топлива) к конечной («сухой») массе ракеты.

Формула $υ_p=(/)·υ_$ является приближенной. В ней не учитывается, что по мере сгорания топлива масса летящей ракеты становится все меньше и меньше. Точная формула для скорости ракеты была получена в 1897 г. К. Э. Циолковским и носит его имя.

Формула Циолковского позволяет рассчитать запасы топлива, необходимые для сообщения ракете заданной скорости.

Работа силы

Термин «работа» был введен в физику в 1826 г. французским ученым Ж. Понселе. Если в обыденной жизни работой называют лишь труд человека, то в физике и, в частности, в механике принято считать, что работу совершает сила. Физическую величину работы обычно обозначают буквой $А$.

Работа силы — это мера действия силы, зависящая от ее модуля и направления, а также от перемещения точки приложения силы. Для постоянной силы и прямолинейного перемещения работа определяется равенством:

где $F$ — сила, действующая на тело, $∆r↖$ — перемещение, $α$ — угол между силой и перемещением.

Работа силы равна произведению модулей силы и перемещения и косинуса угла между ними, т. е. скалярному произведению векторов $F↖$ и $∆r↖$.