Аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Шумаков, Александр Александрович

Оглавление диссертации кандидат технических наук Шумаков, Александр Александрович

ГЛАВА I ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ

1.1. Математические модели динамических систем с распределёнными параметрами. Обзор существующих методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и анализ их недостатков

1.2. Формулировка требований к разрабатываемому методу исследования математических моделей динамических систем с распределёнными

ГЛАВА II АНАЛИТИЧЕСКАЯ И ЧИСЛЕННАЯ ЧАСТИ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

2.1. Аналитическая часть метода. Поиск решения уравнения динамики математической модели динамической системы с распределёнными параметрами в замкнутой форме

2.2. Исследование области, характеризуемой большими значениями одной из координат, решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами

2.3. Численная часть метода. Поиск, с заданным уровнем локальной точности, приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными

ГЛАВА III АЛГОРИТМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ, ЕДИНСТВЕННОСТИ И ГЛАДКОСТИ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1. Алгоритм исследования существования и единственности решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами

3.2. Алгоритм исследования гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными

ГЛАВА IV РАСШИРЕНИЕ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА

4.1. Исследование математических моделей динамических систем с неравномерно распределёнными нестационарными параметрами, уравнения динамики которых содержат функциональные нелинейности

4.2. Исследование математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, уравнения динамики которых содержат смешанные производные

4.3. Построение, с помощью разработанного метода, сетки для решения уравнения динамики математической модели динамической системы с

ГЛАВА V ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ РАЗРАБОТАННОГО МЕТОДА ИССЛЕДОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЁННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Рекомендованный список диссертаций по специальности «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», 05.13.18 шифр ВАК

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами»

К системам, используемым в производстве, медицине, обороне и других областях предъявляются всё более жёсткие требования: низкое энергопотребление, надёжность, минимально возможный размер, безопасность, возможность модификации. Такие требования обуславливают необходимость всё более полного понимания и точного описания физических процессов, лежащих в основе работы той или иной технической системы. Это, в свою очередь, приводит к необходимости постоянного совершенствования математических моделей физических процессов и методов их исследования.

Для описания протекающих в пространственных областях, в реальном масштабе времени физических процессов, широко применяют модели с распределёнными параметрами, математические описания которых представляют собой уравнения в частных производных [10,12,41]. Поиск решений таких уравнений представляет сложную математическую задачу, что обуславливает существование большого числа как аналитических, так и численных методов их решения.

Существующие аналитические методы характеризуются следующими недостатками. Во-первых, применение аналитических методов сопряжено с выполнением сложных математических преобразований, что требует большого количества времени и вычислительных ресурсов для поиска решения и на практике может оказаться неприемлемо. Во-вторых, аналитические методы подходят для решения узкого класса задач или позволяют искать решение в некоторой наперёд заданной форме, что значительно ограничивает область их применения. Применение

существующих численных методов позволяет преодолеть недостатки аналитических методов при поиске решений уравнений в частных производных, но при этом приводит к ряду новых. Во-первых, исследуемые характеристики физических процессов, а вследствие этого и решения уравнений динамики математических моделей с распределёнными параметрами, часто измеряются малыми величинами. Вследствие этого численный метод должен предоставлять способ искать решение с некоторой наперёд заданной локальной точностью (соответствующей величине решений). В существующих численных методах либо не контролируется локальная точность, либо её увеличение с целью получения более точного решения сопровождается уменьшением шага расчёта, что в свою очередь ведёт к увеличению объёма вычислений и на практике может оказаться неприемлемо. Во-вторых, при изучении физических процессов часто требуется исследование области больших значений одной из координат -например пространственной. Вследствие этого, численный метод должен предоставлять способ эффективного исследования области характеризуемой сколь угодно большими значениями хотя бы одной из координат. Решение такой задачи при помощи существующих численных методов сопровождается выполнением большого числа шагов расчёта и характеризуется высоким уровнем накопленной погрешности, в результате практическая ценность полученных результатов равна нулю. В-третьих, приступая к поиску решений уравнений динамики систем с распределёнными параметрами, необходимо ответить на вопрос о существовании искомого решения. В случае использования аналитических методов ответ на подобный вопрос следует из самой возможности получения аналитического описания решения, например в замкнутой форме. В случае использования численных методов вопрос о существовании решения остаётся открытым. На практике это означает, что существующие численные методы находят некоторое

значение решения даже в тех точках, в которых оно не существует, или ищут решение в том классе функций, в котором оно не существует.

Перечисленные недостатки существующих методов указывают на то, что актуальной является разработка нового метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами. Новый метод востребован при исследовании различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, например: модели описывающей распространение электромагнитного излучения в оптическом волокне [13], модели описывающей распространение сигналов в нейронах [30], модели описывающей распределение токов и напряжений в длинной линии [42] и других.

Предметом исследования данной работы являются математические модели динамических систем с распределёнными параметрами.

Методы исследования: математическое моделирование, аналитические и численные методы исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами с применением ЭВМ, вычислительный эксперимент.

Источник исследования: работы исследователей в области математического моделирования и методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Целью данной работы является разработка метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, обладающего рядом преимуществ по сравнению с существующими методами.

1. Обзор существующих методов исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, анализ их недостатков, формулирование на основе анализа недостатков существующих методов требований к разрабатываемому методу.

2. Разработка аналитически-численного метода исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами, соответствующего поставленным требованиям.

3. Разработка программного комплекса автоматизирующего применение разработанного метода.

Научная новизна содержится в следующих результатах диссертационной работы. Предложен метод, основанный на следующих алгоритмах:

- эффективного, как в плане объёма вычислений, так и накапливаемой погрешности, исследования решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в областях сколь угодно больших значений одной из координат;

- поиска приближенных значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами с заданным уровнем локальной точности, увелечение которой не сопровождается значительным ростом объёма вычислений;

- исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в классе обобщённых функций с регулярной составляющей в виде полинома относительно одной из координат.

Достоверность результатов исследования подтверждается вычислительными и натурными экспериментами, осуществлявшимися для различных математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами.

Практическая значимость работы заключается в реализации разработанного метода в виде программного комплекса. Разработанный метод был использован при проектировании подводных волоконно-оптических линий связей в рамках СЧ ОКР «Грация» и «Гранат КП 1Р», а также при расчётах линий связи подводных гидроакустических антенн в рамках СЧ ОКР «Кудесник» на заводе «Псковгеокабель». В целом результаты работы способствуют более полному пониманию физических процессов, происходящих в различных системах.

Положения, выносимые на защиту: аналитически-численный метод исследования математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами и реализующий его комплекс программ, основанные на следующих алгоритмах:

- эффективного, как в плане объёма вычислений, так и накапливаемой погрешности, исследования решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в областях сколь угодно больших значений одной из координат;

- исследования существования, единственности и гладкости решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска, с заданным уровнем локальной точности, приближённых значений решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами;

- поиска точных решений уравнений динамики математических моделей динамических систем с распределёнными параметрами в наперёд заданном виде.

По теме диссертации опубликовано 8 печатных работ, среди которых 5 публикаций в ведущих рецензируемых изданиях, рекомендованных в действующем перечне ВАК. Доклады доложены на 2 международных научно-практических конференциях. Получно 1 свидетельство о регистрации программы для ЭВМ.

Структура диссертации: диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и двух приложений.