Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения высших порядков, решаемые в квадратурах

Рассмотрим дифференциальное уравнение следующего вида: . Интегрируем n раз. ; ; и так далее. Так же можно использовать формулу: . См. Дифференциальные уравнения, решающиеся непосредственным интегрированием

Рассмотрим дифференциальное уравнение, в котором независимая переменная x является функцией от старшей производной: . Это уравнение можно решить параметрическим методом. Для этого вводим параметр . В результате получаем: ; . Из последнего уравнения . Интегрируя, получаем зависимость производной от x в параметрическом виде: . Продолжая интегрирование аналогичным образом, получим зависимость y от x в параметрическом виде.

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только независимую переменную и старшую производную общего вида: . Его можно решить в квадратурах в параметрическом виде, если удастся подобрать такие функции и , для которых .

Если такие функции найдены, то положим . Тогда исходное уравнение выполняется автоматически. Дифференцируя первую функцию, находим связь между дифференциалами переменных x и t : . Тогда . Интегрируя последнее соотношение, получаем решение для производной более низкого порядка в параметрическом виде. Продолжая действовать подобным способом, получим общее решение в квадратурах.

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-1-го порядков: . Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению . Тогда положим . Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению .

Тогда ; . Интегрируя эти уравнения, получим параметрическое представление производной порядка n – 2 . Продолжая подобным образом, получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t . Подробнее, см. здесь.

Рассмотрим дифференциальное уравнение, содержащее только производные n-го и n-2-го порядков: . Его можно решить в квадратурах, если удастся найти такие функции и , которые удовлетворяют уравнению . Положим . Считаем, что такое параметрическое представление эквивалентно исходному уравнению.

Тогда ; ; ; ; . Интегрируя, получим параметрическое представление производных порядка n, n – 1 и n – 2 . Далее интегрируем как в предыдущем случае ⇑. В результате получаем выражения остальных производных и самой функции y через параметр t . Подробнее, см. здесь.

Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка

Подстановка приводит к понижению порядка уравнения на единицу. Здесь – функция от . См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие функцию в явном виде

Для решения этого уравнения, делаем подстановку . Считаем, что является функцией от . Тогда . Аналогично для остальных производных. В результате порядок уравнения понижается на единицу. См. Дифференциальные уравнения высших порядков, не содержащие переменную в явном виде

Дифференциальное уравнение является однородным относительно функции и ее производных, если оно обладает свойством: . Здесь t – число или любая функция; число p называют показателем однородности.

Чтобы распознать такое уравнение, нужно сделать замену . Если после преобразований t сократится, то это однородное уравнение.

Для его решения делаем подстановку , где – функция от . Тогда . Аналогично преобразуем производные и т.д. В результате порядок уравнения понижается на единицу. См. Однородные относительно функции и ее производных дифференциальные уравнения высших порядков

Теперь рассмотрим дифференциальные уравнения, которые не меняют вида, если сделать замену переменных: , где c – постоянная; s – измерение однородности для переменной y. При такой замене производная порядка m умножается на : . Если записать исходное уравнение в общем виде: , то оно является обобщенно однородным относительно переменных, если обладает свойством: , где t – число или любая функция; p – показатель однородности.

При подобные уравнения можно назвать однородными дифференциальными уравнениями относительно переменных.

Порядок такого уравнения можно понизить на единицу, если искать решение в параметрическом виде, и перейти от зависимой переменной (функции) y к новой зависимой переменной (новой функции) с помощью подстановок: , где t – параметр. В результате для функции получим дифференциальное уравнение n - го порядка, которое не содержит переменную t в явном виде. Далее понижаем порядок изложенным выше методом ⇑. См. Обобщенно однородные дифференциальные уравнения относительно переменных высших порядков

Это уравнения, которые можно привести к полной производной: . Отсюда сразу получаем первый интеграл: . Он представляет собой дифференциальное уравнение, на единицу меньшего порядка по сравнению с исходным уравнением .

В качестве примера рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка: . Разделим его на . Тогда . Отсюда получаем первый интеграл, который является дифференциальным уравнением первого порядка: . См. Дифференциальные уравнения высших порядков с полной производной.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка: (1) , где – функции от независимой переменной . Пусть есть n линейно независимых решений этого уравнения. Тогда общее решение уравнения (1) имеет вид: (2) , где – произвольные постоянные. Сами функции образуют фундаментальную систему решений. Фундаментальная система решений линейного однородного уравнения n-го порядка – это n линейно независимых решений этого уравнения.

Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка: . Пусть есть частное (любое) решение этого уравнения. Тогда общее решение имеет вид: , где – общее решение однородного уравнения (1).

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и приводящиеся к ним

Это уравнения вида: (3) . Здесь – действительные числа. Чтобы найти общее решение этого уравнения, нам нужно найти n линейно независимых решений , которые образуют фундаментальную систему решений. Тогда общее решение определяется по формуле (2): (2) .

Ищем решение в виде . Получаем характеристическое уравнение: (4) .

Если это уравнение имеет различные корни , то фундаментальная система решений имеет вид: .

Если имеется комплексный корень , то существует и комплексно сопряженный корень . Этим двум корням соответствуют решения и , которые включаем в фундаментальную систему вместо комплексных решений и .

Кратным корням кратности соответствуют линейно независимых решений: .

Кратным комплексным корням кратности и их комплексно сопряженным значениям соответствуют линейно независимых решений: .

Рассмотрим уравнение вида , где – многочлены степеней s 1 и s 2 ; – постоянные.

Сначала мы ищем общее решение однородного уравнения (3). Если характеристическое уравнение (4) не содержит корень , то ищем частное решение в виде: , где ; ; s – наибольшее из s 1 и s 2 .

Если характеристическое уравнение (4) имеет корень кратности , то ищем частное решение в виде: .

После этого получаем общее решение: .

Здесь возможны три способа решения.

1) Метод Бернулли. Сначала находим любое, отличное от нуля, решение однородного уравнения . Затем делаем подстановку , где – функция от переменной x . Получаем дифференциальное уравнение для u , которое содержит только производные от u по x . Выполняя подстановку , получаем уравнение n – 1 - го порядка.

2) Метод линейной подстановки. Сделаем подстановку , где – один из корней характеристического уравнения (4). В результате получим линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами порядка . Последовательно применяя такую подстановку, приведем исходное уравнение к уравнению первого порядка.

3) Метод вариации постоянных Лагранжа. В этом методе мы сначала решаем однородное уравнение (3). Его решение имеет вид: (2) . Далее мы считаем, что постоянные являются функциями от переменной x . Тогда решение исходного уравнения имеет вид: , где – неизвестные функции. Подставляя в исходное уравнение и накладывая на некоторые ограничения, получаем уравнения, из которых можно найти вид функций .

Оно сводится к линейному уравнению с постоянными коэффициентами подстановкой: . Однако, для решения уравнения Эйлера, делать такую подстановку нет необходимости. Можно сразу искать решение однородного уравнения в виде . В результате получим такие же правила, как и для уравнения с постоянными коэффициентами, в которых вместо переменной нужно подставить .

Использованная литература: В.В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, «ЛКИ», 2015. Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.