Задача 1 Тело брошено со скоростью v = 10 м/с под углом α: sin α = 35/36. Найдите максимальное удаление тела от точки бросания. Принять g = 10 м/с2.

1 Задача Тело брошено со скоростью = 0 м/с под углом α: sin α = /6 Найдите максимальное удаление тела от точки бросания Принять = 0 м/с y Экстремальное (максимальное) удаление от точки бросания либо при (

) = 0, либо в точке падения камня Первое условие означает, что радиус-вектор перпендикулярен скорости Дальность полета определяется выражением: r sin α L= м x Из условия (

) = 0 следует, что xx yy = 0 Выпишем выражения для x, y, x, y : x = cos α t, t y = sin α t x = cos α, y = sin α t Подставляя в выражение (

) = 0, получим t sin α t = 0 Решая уравнение, получим t± = u u t 8 sin α ± sin α 9 Тело удаляется от точки бросания до момента времени t, затем приближается к точке бросания до момента времени t, а затем удаляется до момента падения на землю Наибольшее удаление в момент времени t : r = x y = r ( cos αt ) ( sin αt t ) м Ответ: rm AX = м Найдена дальность полета балла Найдено условие экстремальности удаления от точки бросания балла Найдено время для экстремальных удалений балла Найдено максимальное удаление от точки бросания балла

2 Задача Действительным изображением трапеции, основания которой перпендикулярны главной оптической оси тонкой собирающей линзы, является трапеция с теми же углами Если трапецию отразить относительного большего основания, то её изображением будет прямоугольник Найдите увеличение большего основания трапеции Изображением отрезка в собирающей линзе будет отрезок (если он целиком находится по одну сторону от фокуса) Выпишем связь между тангенсами углов, которые образуют отрезок и его изображение с главной оптической осью y tβ = ± tα, F y α β где F - фокусное расстояние линзы В случае действительного изображения необходимо выбрать " " Тогда трапеция может иметь изображение в виде трапеции с теми же углами, если ее стороны "смотрят"на одну из двух точек: Центр линзы Тогда y = 0, а следовательно tα = tβ Двойной фокус Тогда y = F tα, а следовательно tα = tβ Для того, чтобы изображением трапеции был прямоугольник, необходимо, чтобы стороны трапеции "смотрели"в фокус Тогда y = F tα, а tβ = 0 По условию задачи подходит только один вариант: сначала стороны трапеции "смотрят"на двойной фокус, а затем в фокус Тогда большая сторона трапеции находится поf F середине между двойным фокусом и фокусом Воспользуемся формулой тонкой линзы для нахождения расстояния, на котором окажется изображение большего основания трапеции =, b F F тогда b = F Увеличение большей стороны Γ= b F =

3 Ответ: Γ = Найдены точки, куда могут "смотреть"боковые стороны трапеции, чтобы трапеция изображалась трапецией с теми же углами балла Указано, что стороны трапеции сначала "смотрели"на двойной фокус, а затем в фокус балла Найдено увеличение большей стороны балла Задача Легкий стержень длины закреплен шарнирно к потолку На другом конце стержня закреплен шарик массы Второй шарик массы налетает со скоростью горизонтально и прилипает к середине стержня Найдите максимальный угол отклонения стержня от вертикали при дальнейшем движении Момент импульса системы "стержень и два шарика"до удара относительно оси, проходящей через точку подвеса, перпендикулярно рисунку M =, момент импульса системы сразу после удара α 0 M = ω ω, где ω - угловая частота вращения стержня В силу того, что момент внешних сил для системы равен нулю, то момент импульса системы сохраняется Отсюда следует, что M = M или = ω Из последнего уравнения находим ω = Энергия системы сразу после удара ( ω) (ω) E = = = 8 0 Энергия системы в момент максимального отклонения E = ( cos α) ( cos α) = cos α

4 Энергия системы после столкновения сохраняется E = E, тк работа внешних сил равна нулю, а диссипативные силы не действуют = cos α/ 0 Отсюда получаем для угла отклонения cos α = Ответ: cos α = /() Найден момент импульса системы до удара балла Найден момент импульса системы после удара балла Найдена угловая скорость стержня сразу после удара балла Найдена энергия системы сразу после удара балла Найдена энергия системы в момент максимального отклонения балла Найден косинус угла максимального отклонения балла Задача Узкая U -образная трубка полностью заполнена водой Длина каждого участка трубки равна Сначала трубка движется вправо с ускорением a = 06 Затем трубка движется влево с ускорением a Найдите, какое количество воды останется в трубке после этого Будем мерить объем в длинах трубки, те начльный объем После начала движения, часть воды выльется из левого колена трубки Найдем уровень воды h, который останется в правом колене Запишем второй закон Ньютона для центральной части трубки ρa = ρ ρh, a h тогда найдем h h = a = 0

5 Если теперь остановить систему, то общий объем будет После начала движения влево, жидкость будет выливаться из правого колена Пусть h уровень воды в левом колене, который установится после начала движения влево Тогда запишем второй закон Ньютона для цетральной части трубки a h ρa = ρ ρh Отсюда найдем h h = a = 0 < 0 Отрицательное значение h говорит о том, что вода выльется и из центральной части Пусть h - уровень воды в центральной части, тогда запишем для нее второй закон Ньютона a ρh a = ρ, отсюда найдем h h = = a 6 Тогда воды останется 6 = /6 h Ответ: /6 Найдено колено h балла Найдено, что вода выльется и из средней части балла Найдено оставшееся количество воды балла Задача В гладкой длиной теплоизолированной трубе, расположенной горизонтально, между двумя теплоизолированными поршнями массы находится ν молей идеального одноатомного газа при температуре T В начальный момент времени скорости поршней направлены в одну сторону и равны и Пренебрегая массой газа по сравнению с массой поршней, найдите максимальную температуру газа в процессе движения поршней, если скорость заднего поршня больше, чем у переднего Все процессы с газом считать квазистационарными

6 Энергия системы "два поршня и газ"в начальный момент времени W = () νrt = νrt T Импульс системы в начальный момент p = = Температура газа будет максимальна при равенстве скоростей поршней = = u Импульс системы в момент максимальной температуры p = u u = u Импульс системы сохраняется, тк внешние силы равны нулю = u, отсюда u = /u Энергия системы в момент максимальной температуры 9 u u νrt = νrt W = Внешние и диссипативные силы отсутсвтвуют, тогда энергия сохраняется 9 νrt = νrt Для максимальной температуры получим T = T 6νR Ответ: T = T 6νR Найдена энергия системы в начальный момент времени балла Найден импульс системы в начальный момент времени балла Найдено условие максимума температуры балла Записан закон сохранения импульса балла Найдена энергия системы в момент максимальности температуры балла Записан закон сохранения энергии балла Найдена максимальная температура балла 6