Квадратные уравнения — 32 примера (ЕГЭ 2022)

Неполное квадратное уравнение вида \(a=0\), где \(\displaystyle a\ne 0\):

Данное уравнение всегда имеет только один корень: \(x=0\).

Алгоритм решения полных квадратных уравнений вида \(a+bx+c=0\), где \(a,b,c\ne 0\)

Решение с помощью дискриминанта

1) Приведем уравнение к стандартному виду: \(a+bx+c=0\),

2) Вычислим дискриминант по формуле: \(D=-4ac\), который указывает на количество корней уравнения:

3) Найдем корни уравнения:

• если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня, которые находятся по формуле: \( \displaystyle x=\frac\Rightarrow \left\< \begin=\frac\\=\frac\end \right.\)
• если \(D=0\), то уравнение имеет \(1\) корень, который находится по формуле: \(\displaystyle x=\frac\)
• если \(D<0\), то уравнение не имеет корней.

Решение с помощью теоремы Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения (уравнения вида \(^+bx+c=0\), где \(a=1\)) равна \(-b\), а произведение корней равно \(c\), т.е. \(\displaystyle +=-b\), а \(\displaystyle \cdot =c\).

Решение методом выделения полного квадрата

Если квадратное уравнение вида \(a+bx+c=0\) имеет корни \(\displaystyle ,\), то его можно записать в виде : \(\displaystyle a\cdot (x-

Определение квадратного уравнения

В термине «квадратное уравнение» ключевым является слово «квадратное».

Это значит, что в уравнении обязательно должна присутствовать переменная (тот самый икс) в квадрате, и при этом не должно быть иксов в третьей (и большей) степени.

А определение квадратного уравнения выглядит так:

Квадратное уравнение, это уравнение вида \(a+bx+c=0\), где \(x\) – неизвестное, \(a\), \(b\), \(c\) – некоторые числа, причем \(a\ne 0\).

\(a\) и \(b\) называют коэффициентами квадратного уравнения, а \(c\) – свободным членом.

Давай научимся определять, что перед нами квадратное уравнение, а не какое-нибудь другое.

Рассмотрим на примерах.

Пример 1

Избавимся от знаменателя и домножим каждый член уравнения на \(4x\)

Перенесем все в левую часть и расположим члены в порядке убывания степеней икса

Теперь можно с уверенностью сказать, что данное уравнение является квадратным!

Пример 2

Домножим левую и правую часть на \(8x\):

Это уравнение, хотя в нем изначально был \(\), не является квадратным!

Пример 3

Страшно? Четвертая и вторая степени… Однако, если произвести замену \(t=\), то мы увидим, что перед нами простое квадратное уравнение:

Пример 4

Вроде бы есть \(\), но давай посмотрим внимательнее. Перенесем все в левую часть:

Видишь, \(\) сократился – и теперь это простое линейное уравнение!

Определи сам, какое из следующих уравнений является квадратным:

• \(\ 2+3-4=0\)
• \(\frac=\frac\)
• \(5-11x=5+14\)
• \(\frac-\frac=0\)
• \(3\left( +2 \right)-11x=3\)
• \(\frac-12=\frac\)
• \(\frac=\)
• \(12x+\frac-4=0\)

Ответы:

• квадратное
• квадратное
• не квадратное
• не квадратное
• не квадратное
• квадратное
• не квадратное
• квадратное

Все квадратные уравнения можно разделить на два вида:

Полные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициенты \(a\) и \(b\), а также свободный член с не равны нулю (как в примере \(1\)).

Кроме того, среди полных квадратных уравнений выделяют приведенные – это уравнения, в которых коэффициент \(a=1\) (уравнение из примера один является не только полным, но еще и приведенным!)

Неполные квадратные уравнения – уравнения, в которых коэффициент \(b\) и или свободный член с равны нулю.

Неполные они потому, что в них не хватает какого-то элемента. Но в уравнении всегда должен присутствовать икс в квадрате. Иначе это будет уже не квадратное, а какое-то другое уравнение.

Зачем придумали такое деление?

Такое деление обусловлено методами решения. Рассмотрим каждый из них подробнее.

Решение неполных квадратных уравнений

Для начала остановимся на решении неполных квадратных уравнений – они гораздо проще!

Неполные квадратные уравнения бывают \(3\) типов:

• \(a+c=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) равен \(0\).
• \(a+bx=0\), в этом уравнении свободный член \(c\) равен \(0\).
• \(a=0\), в этом уравнении коэффициент \(b\) и свободный член \(c\) равны \(0\).

Теперь рассмотрим решение каждого из этих подтипов.

Поскольку мы знаем, как извлекать квадратный корень, то давайте выразим из этого уравнения

Эти формулы не нужно запоминать. Главное, ты должен знать и помнить всегда, что \(\) не может быть меньше \(0\).

Давай попробуем решить несколько примеров.

Пример 5

Решите уравнение \(2-18=0\)

Теперь осталось извлечь корень из левой и правой части. Ведь ты помнишь как извлекать корни?

Ответ: \(-3;\text< >3.\)

Никогда не забывай про корни с отрицательным знаком.

Пример 6

Решите уравнение \(5-80=0\)

Ответ: \(-4;\text< >4.\)

Пример 7

Решите уравнение \(18+54=0\)

Ой! Все ли здесь правильно?

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Вынесем общим множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

\(x\left( ax+b \right)=0\).

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. А это значит, что уравнение имеет решение, когда:

Таким образом, данное квадратное уравнение имеет два корня. Здесь нет никаких ограничений, так как корень мы не извлекали.

Пример 8

Решите уравнение \(6+15x=0\)

Вынесем общий множитель \(\displaystyle x\) за скобки:

\(x\left( 6x+15 \right)=0\)

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Самый простой тип неполных квадратных уравнений (хотя они все простые, не так ли?). Очевидно, что данное уравнение всегда имеет только один корень:

Здесь обойдемся без примеров.

Решение полных квадратных уравнений

Напоминаем, что полное квадратное уравнение, это уравнение вида уравнение \(a+by+c=0,\) где \(a,b,c\ne 0.\)

Решение полных квадратных уравнений немного сложнее (совсем чуть-чуть), чем приведенных.

Запомни, любое квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта! Даже неполное.

Остальные способы помогут сделать это быстрее, но если у тебя возникают проблемы с квадратными уравнениями, для начала освой решение с помощью дискриминанта.

Шаг 1. Привести уравнение к стандартному виду: \(a+by+c=0\)

Если уравнение уже дано в таком виде, то этот шаг делать не нужно. Главное правильно определить коэффициенты \(a\) и \(b\) и свободный член \(c\).

Шаг 2. Вычислить дискриминант по формуле: \( \displaystyle D=-4ac\)

Пример: \(\displaystyle D=-4\cdot 1\cdot \left( -3 \right)\)\(\displaystyle=4+12=16\)

Решение квадратных уравнений этим способом очень простое, главное запомнить последовательность действий и пару формул.

Если \(D>0\), то уравнение имеет \(\displaystyle 2\) корня.

Нужно особое внимание обратить на шаг \(\displaystyle 2\). Дискриминант (\(\displaystyle D\)) указывает нам на количество корней уравнения:

1. Если \(D=0\), то формула на шаге \(3\) сократится до \( \displaystyle x=\frac\). Таким образом, уравнение будет иметь всего \(1\) корень.
2. Если \(D<0\), то мы не сможем извлечь корень из дискриминанта на шаге \(3\). Это указывает на то, что уравнение не имеет корней.

Обратимся к геометрическому смыслу квадратного уравнения. График функции \(f\left( x \right)=a+bx+c\) является параболой:

В частном случае, которым является квадратное уравнение, \(f\left( x \right)=0\). А это значит, что корни квадратного уравнения, это точки пересечения с осью абсцисс (ось \(x\)).

Парабола может вообще не пересекать ось \(x\), либо пересекать ее в одной (когда вершина параболы лежит на оси \(x\)) или двух точках.

Кроме того, за направление ветвей параболы отвечает коэффициент \(a\). Если \(a>0\), то ветви параболы направлены вверх, а если \(a<0\) – то вниз.

Вернемся к нашим уравнениям и рассмотрим несколько примеров.

Пример 9

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

\(D>0\), а значит уравнение имеет два корня.

Шаг 3.

Ответ: \(-2;\text< >0,75\)

Пример 10

Решите уравнение \(4-2x+0,25=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 11

Решите уравнение \(3+4x+5=0\)

Уравнение представлено в стандартном виде, поэтому Шаг 1 пропускаем.

Шаг 2.

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Познакомили поэта с теоремою Виета.Оба корня он сложил, минус \(p\) он получил.А корней произведенье дает \(q\) из уравнения.

Если ты помнишь, то есть такой тип уравнений, которые называются приведенными (когда коэффициент а равен \(1\)):

Такие уравнения очень просто решать, используя теорему Виета:

Сумма корней приведенного квадратного уравнения \(+px+q=0\) равна \(-p\), а произведение корней равно \(q\).

Использовать теорему Виета очень легко: нужно всего лишь подобрать такую пару чисел, произведение которых равно свободному члену уравнения, а сумма – второму коэффициенту, взятому с обратным знаком.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 12

Решите уравнение \(-7x+12=0\)

Это уравнение подходит для решения с использованием теоремы Виета, т.к. \(a=1\).

Сумма корней уравнения равна \(-p\), т.е. получаем первое уравнение:

А произведение равно \(q\):

Составим и решим систему:

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(12\), и проверим, равна ли их сумма \(7\):

• \(12\) и \(1\). Сумма равна \(13\);
• \(2\) и \(6\). Сумма равна \(8\);
• \(3\) и \(4\). Сумма равна \(7\).

\(3\) и \(4\) являются решением системы:

Таким образом, \(3\) и \(4\) – корни нашего уравнения.

Ответ: \(3\); \(4\).

Пример 13

Уравнение приведенное, а значит:

Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 14

Решите уравнение \(+18x+77=0\)

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 15

Решение:

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(6\), а затем проверим, равна ли их сумма \(-5\):

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 16

Решение:

Свободный член уравнения отрицательный, а значит и произведение корней – отрицательное число. Это возможно только если один из корней отрицательный, а другой – положительный. Поэтому сумма корней равна разности их модулей.

Подберем такие пары чисел, которые в произведении дают \(24\), и разность которых равна \(2\):

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 17

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Свободный член \(\left( -40 \right)\) отрицателен, а значит и произведение корней отрицательно. А это возможно только тогда, когда один корень уравнения отрицателен, а другой положителен.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(40\), а затем определим, какой корней должен иметь отрицательный знак:

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 18

Решите уравнение \(+18x+77=0\).

Решение:

Уравнение приведенное, а значит:

Сумма корней отрицательна, а это значит что, по крайней мере, один из корней отрицателен. Но поскольку их произведение положительно, то значит оба корня со знаком минус.

Подберем такие пары чисел, произведение которых равно \(77\):

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Согласись, это очень удобно – придумывать корни устно, вместо того, чтобы считать этот противный дискриминант. Старайся использовать теорему Виета как можно чаще.

Но теорема Виета нужна для того, чтобы облегчить и ускорить нахождение корней. Чтобы тебе было выгодно ее использовать, ты должен довести действия до автоматизма.

А для этого порешай-ка еще примеров. Но не жульничай: дискриминант использовать нельзя! Только теорему Виета!

• \(-8x+12=0\)
• \(+13x+36=0\)
• \(24-22=2\)
• \(-11-26=0\)
• \(\displaystyle 2=56-6x\)

Решения

Пример 19

По теореме Виета:

Как обычно, начинаем подбор с произведения:

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 20

И снова наша любимая теорема Виета: в сумме должно получиться \(-13\), а произведение равно \(36\).

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 21

\(\displaystyle 24-22=2\)

Хм… А где тут что?

Надо перенести все слагаемые в одну часть:

\(\displaystyle 24-22=2\text< >\Leftrightarrow \text< 2>-24x+22=0\)

Сумма корней равна \(\displaystyle 24\), произведение \(\displaystyle 22\).

Так, стоп! Уравнение-то не приведенное. Но теорема Виета применима только в приведенных уравнениях. Так что сперва нужно уравнение привести. Если привести не получается, бросай эту затею и решай другим способом (например, через дискриминант). Напомню, что привести квадратное уравнение – значит сделать старший коэффициент равным \(\displaystyle 1\):

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 22

\(\displaystyle -11-26=0\)

Свободный член отрицательный. Что в этом особенного? А то, что корни будут разных знаков. И теперь во время подбора проверяем не сумму корней, а разность их модулей: эта разность равна \(\displaystyle 11\), а произведение \(\displaystyle 26\).

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Задание 5. \(\displaystyle 2=56-6x\text< >\Leftrightarrow \text< >2+6-56=0\)

Что нужно сделать первым делом? Правильно, привести уравнение:

\(\displaystyle 2+6-56=0\left| :2 \right.\text< >\Leftrightarrow \text< >+3-28=0\)

Снова: подбираем множители числа \(\displaystyle 28\), и их разность должна равняться \(\displaystyle 3\):

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Выводы:

• Теорема Виета используется только в приведенных квадратных уравнениях.
• Используя теорему Виета можно найти корни подбором, устно.
• Если уравнение не приводится или не нашлось ни одной подходящей пары множителей свободного члена, значит целых корней нет, и нужно решать другим способом (например, через дискриминант).

Метод выделения полного квадрата

Если все слагаемые, содержащие неизвестное \(x\), представить в виде слагаемых из формул сокращенного умножения – квадрата суммы или разности – то после замены переменных можно представить уравнение в виде неполного квадратного уравнения типа \(a+c=0\).

\(\displaystyle \Leftrightarrow =1\Leftrightarrow x+3=\pm 1\Leftrightarrow \left[ \beginx=-2,\\x=-4.\end \right.\)

Пример 23

Решение:

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

Пример 24

Решите уравнение: \(3+12x+8=0\).

Решение:

Мы хотим постоянно улучшать этот учебник и вы можете нам в этом помочь. Оформите доступ и пользуйтесь учебником ЮКлэва без ограничений (100+ статей по всем темам ОГЭ и ЕГЭ, 2000+ разобранных задач, 20+ вебинаров-практикумов)

В общем виде преобразование будет выглядеть так:

Ничего не напоминает? Это же дискриминант! Вот именно, формулу дискриминанта так и получили.

Бонус: Вебинар из нашего курса по подготовке к ЕГЭ по математике

Выделение полного квадрата — это самое сложное и важное умение, относящееся к формулам сокращенного умножения.

Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.

В общем, метод выделения полного квадрата — бесценный навык и вы сможете приобрести его посмотрев это видео.

Наши курсы по подготовке к ЕГЭ по математике, информатике и физике

Курсы для тех, кому нужно получить 90+ и поступить в топовый ВУЗ страны.

Алексей Шевчук — ведущий курсов

А теперь мы хотим услышать тебя…

Хочешь жить – умей решать квадратные уравнения 🙂

Мы рассказали тебе об основных методах решения квадратных уравнений. А теперь мы хотим услышать тебя.

Расскажи, что ты думаешь об этой статье? Все ли было понятно?

Напиши в комментариях ниже. А еще ты можешь задать любой вопрос, и мы обязательно тебе ответим!

Если у тебя есть какие-то идеи и предложения о том, что еще можно добавить в статью, напиши нам об этом!

Удачи на экзаменах!

3 комментария

Некоторые комментарии прошлых лет к этой статье:

Михаил 15 апреля 2019 Здравствуйте, большое спасибо за материалы! Могу ошибаться, но в части про определение квадратного уравнения в примере 2 для самостоятельной работы допущена опечатка, конкретнее в ответах написано, что уравнение квадратное, хотя таким не является. Мы обе части уравнения умножаем на 7x после чего в левой сокращаются иксы, а в правой семерки и получаем 42 = x^2. На сколько понял такой вид не является квадратным. И еще раз спасибо за материалы! Очень доступно описано то, обо что я бился головой не один день

Александр (админ) 15 апреля 2019 Пожалуйста, Михаил. Очень рады, что понравился наш материал. По поводу вопроса. Я вижу в уравнении, которое ты привел переменную в квадрате, тот самый икс в квадрате. (42 = x^2). А по нашему вольному определению, данному вначале этого текста, уравнение является квадратным, если у него есть переменная в квадрате и нет переменных в 3-й и более степеней.

Алексей 23 августа 2019 Здравствуйте! Скажите почему в неполных квадратных уравнениях (в 3 типе) нельзя перенести второе слагаемое вправо, а затем поделить на x. Получиться что x не равен 0. Но это не так! Мы ведь можем левую и правую часть подвергать любым операциям или это кроме операций с переменной (умножать на ее, делить и т.д.) Или в конце просто сделать проверку?

Алексей Шевчук 25 августа 2019 Алексей, всё верно, на переменную умножать, делить и т.д. нельзя, если мы не уверены, что она не равна нулю. Если это сделать, то даже проверка не поможет найти упущенные корни. Пример, когда можно делить: (x^2+1)*x = 5*(x^2+1) здесь можно поделить на скобку (x^2+1), так как она равной нулю быть не может. Но для того, чтобы схема решения была универсальной, даже в таких задачах лучше всё переносить в одну сторону и раскладывать на множители — так меньше вероятность ошибки, и не придётся каждый раз анализировать, можно на неё делить или нет.