Практическая работа. Приближенное решение уравнений

1 Актуализация темы Практическая работа Приближенное решение уравнений Мы прекрасно решаем квадратные и биквадратные уравнения, наипростейшие тригонометрические и степенные. Еще водятся "мастодонты", знающие о существовании формул Кардано для кубических уравнений. Однако доказано, что даже алгебраическое уравнение выше четвертой степени неразрешимо в элементарных функциях. Поэтому решение уравнения проводят численно в два этапа (здесь разговор идет лишь о вещественных корнях уравнения). На первом этапе производится отделение корней - поиск интервалов, в которых содержится только по одному корню. Второй этап решения связан с уточнением корня в выбранном интервале (определением значения корня с заданной точностью). Уточнение корней можно выполнить: методом половинного деления (дихотомии) методом хорд методом касательных (Ньютона) методом простой итерации Сегодня нам предстоит решить задачу нахождения приближенного корня уравнения cos(x)=x, используя различные программные средства. Пока мы не знаем никаких математических приемов решения этого уравнения, но знаем программу, в которой можно приближенно решить его графическим способом. Это программа - Microsoft Excel.

2 1. Использование графического метода для приближенного решения уравнений в электронных таблицах. Смысл графического метода в построении графика функции y = cos(x) x на некотором отрезке, абсцисса точки пересечения графика с осью OX является корнем уравнения cos(x)=x.) Для построения графика нужно определить отрезок, на котором существует корень. Сделаем это математическим методом. Множеством значений левой части уравнения, функции y = cos(x), является отрезок [-1; 1]. Поэтому уравнение может иметь корень только на этом отрезке. Итак, найдем приближенный корень уравнения cos(x)=x на отрезке [-1; 1] с шагом, например, 0,1 в программе Microsoft Excel. Рисунок 1 Приближенный корень уравнения х=0,75. Однако это приближение не обладает высокой точностью. Для нахождения приближенного корня уравнения с указанной заранее точностью используются математические методы, в частности, метод половинного деления. Поиск приближенного решения уравнения методом Подбор параметра. Определить по графику отрезок, где расположен корень (значение функции меняет знак); Из двух значений функции на концах этого отрезка определить ближайшее к нулю значение (минимальное по модулю) В таблице значений функции выделить ячейку с этим значением; Перейти на вкладку Данные Анализ «что-если» Подбор параметра ;

3 В открывшемся диалоговом окне Подбор параметра (Рис. 1) в поле Значение ввести требуемое значение функции 0. В поле Изменяя значение ячейки: ввести адрес ячейки соответствующего значения аргумента (щелкнув по ячейке левой кнопкой мыши). Щелкнуть по кнопке ОК. Рис. 1. (Пример, для случая, когда значение функции расположено в ячейке E2, а значение аргумента в ячейке Е1) В окне Результат подбора (Рис. 2) выводится информация о величине подбираемого и подобранного значения функции; в ячейке значения аргумента выводится подобранное значение аргумента с заданной точностью Задать точность можно путем установки в ячейках таблицы точности представления чисел числа знаков после запятой (Главная Число Числовой).

4 2. Изучение метода половинного деления при решении уравнений. Идея метода половинного деления состоит в сведении первоначального отрезка [а; b], на котором существует корень уравнения, к отрезку заданной точности h. Процесс сводится к последовательному делению отрезка пополам точкой с=(а+b)/2 и отбрасыванию половины отрезка ([a; c] или [c; b]), на которой корня нет. Выбирается тот отрезок, на концах которого функция принимает значения разных знаков, т.е. произведение этих значений отрицательно. Функция на этом отрезке пересекает ось абсцисс. Концам этого отрезка вновь присваивают обозначения a, b. Это деление продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше удвоенной точности, т.е. пока не выполнится неравенство (b-a)/2<h. Деление такого отрезка пополам даст значение корня х=(а+b)/2 с заданной точностью. Приближенный корень уравнения х=0,75 найден с точностью 0,5. Теперь найдем корень уравнения cos(x)=x с точностью 0,001. Решим поставленную задачу с использованием Microsoft Excel. 3. Моделирование листа электронных таблиц для приближенного решения уравнения методом половинного деления. Исходные значения границ отрезка a и b запишем в ячейки А4 и В4, в ячейке С4 получим середину заданного отрезка, в ячейках D4 и Е4 значения функции f(х) на концах отрезка [a; c], в ячейке F4 будем определять длину отрезка [а; b], необходимую точность укажем в ячейке H4. В ячейку G4 запишем формулу нахождения корня по правилу: если длина текущего отрезка соответствует требуемой точности, то в качестве корня уравнения примем значение середины этого отрезка. Мы уже знаем, что корень в нашем случае не найдется за один шаг, поэтому чтобы при копировании формулы из ячейки G4 адрес ячейки Н4 не менялся используем абсолютную адресацию. В пятой строке запишем значения, полученные после первого шага деления исходного отрезка пополам. В ячейки А5 и В5 нужно вписать формулы определения границ нового отрезка. В ячейки С4, D4, E4, F4, G4 формулы копируются из ячеек С5, D5, E5, F5, G5 соответственно. Таким образом, в режиме формул лист электронной таблицы примет следующий вид: Рисунок 2 Далее нужно будет копировать формулы в очередную строку до тех пор, пока в столбце G не появится искомое значение корня.

5 4. Проект Приближенное решение уравнения методом половинного деления на языке Pascal. Программный код Корень уравнения cos(x)=x: Program P_del; Var a,b,e,c,fa,fc: real; begin Writeln ('Укажите нижнюю границу интервала'); Readln (a); Writeln ('Укажите верхнюю границу интервала'); Readln (b); Writeln ('Укажите точность вычисления'); Readln (e); While (b - a) / 2 >= e do begin c := (a + b) / 2; fa := Cos(a)-a; fc := Cos(c)-c; If fa * fc < 0 Then b := c Else a := c; End; c:=(a + b) / 2; c:=round(c/e)*e; //округление до заданной точности Writeln ('Корень уравнения на данном интервале', c); End. Компьютерный эксперимент. Найдите корень уравнения cos(x)=x с точностью Анализ полученных результатов. Сравните результаты решения уравнения cos(x)=x, полученные с использованием разных инструментальных средств. 6. Самостоятельная работа. Найти значение корня уравнения: Вариант 1. x 5-4x 2 + x -2 = 0, с точностью d=0.001